Questão de Engenharia Mecânica · FGV PCERJ 2021 (nº 42)

Para entender o movimento de um fluido em uma tubulação onde há mudanças de diâmetro e altura, usamos duas ferramentas principais: a Equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura do fluido ao longo de uma linha de corrente, e a Equação da Continuidade, que garante que a vazão (quantidade de fluido que passa por seção) se mantém constante, mesmo que o diâmetro da tubulação mude.

• (A) Incorreta: Esta alternativa resulta de um erro comum de cálculo na etapa final. Após aplicar as equações de Bernoulli e Continuidade, chega-se a $V_1^2 = 16$. Se, por engano aritmético, o aluno calcular $240/15 = 4 (em vez de \16$), ele obterá$V_1 = \sqrt{4} = 2 \text{ m/s}$. Multiplicando pela área$A_1 = 0.03 \text{ m}^2$, a vazão seria$Q = 0.03 \times 2 = 0.06 \text{ m}^3\text{/s}$. Essa é a armadilha da banca: um erro de divisão simples pode levar a uma alternativa plausível.
• (B) Correta: Para resolver, primeiro convertemos as unidades e definimos os pontos.
  1. Dados e Conversões:
     • Diâmetro maior ($D_1$) = 200 mm = 0.2 m
     • Diâmetro menor ($D_2$) = 100 mm = 0.1 m
     • Pressão no trecho menor ($P_2$) = 2000 kgf/m². Com $g=10 \text{ m/s}^2$, $1 \text{ kgf} = 10 \text{ N}$. Assim, $P_2 = 2000 \times 10 = 20000 \text{ Pa}$.
     • Pressão 4 m acima ($P_1$) = 10000 kgf/m² = $10000 \times 10 = 100000 \text{ Pa}$.
     • Diferença de altura: Se $z_2 = 0$, então $z_1 = 4 \text{ m}$.
     • Densidade do fluido (água, padrão para esses problemas) $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$.
     • $\pi = 3.0$, $g = 10 \text{ m/s}^2$.
  2. Cálculo das Áreas:
     • $A = \pi D^2 / 4$
     • $A_1 = 3.0 \times (0.2)^2 / 4 = 3.0 \times 0.04 / 4 = 0.03 \text{ m}^2$
     • A_2 = 3.0 \times (0.1)^2 / 4 = 3.0 \times 0.01 / 4 = 0.0075 \text{ m}^2\
  3. Equação da Continuidade:
     • $A_1 V_1 = A_2 V_2 \implies 0.03 V_1 = 0.0075 V_2 \implies V_2 = 4 V_1$.
  4. Equação de Bernoulli (entre Ponto 1 e Ponto 2):
     • $P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2 + \rho g z_2$
     • $100000 + \frac{1}{2} (1000) V_1^2 + (1000)(10)(4) = 20000 + \frac{1}{2} (1000) V_2^2 + (1000)(10)(0)$
     • $100000 + 500 V_1^2 + 40000 = 20000 + 500 V_2^2$
     • $140000 + 500 V_1^2 = 20000 + 500 V_2^2$
     • $120000 + 500 V_1^2 = 500 V_2^2$
     • Dividindo por 500: 240 + V_1^2 = V_2^2\
  5. Substituir $V_2$ (da Continuidade) em Bernoulli:
     • $240 + V_1^2 = (4 V_1)^2$
     • $240 + V_1^2 = 16 V_1^2$
     • $240 = 15 V_1^2$
     • $V_1^2 = 240 / 15 = 16$
     • V_1 = \sqrt{16} = 4 \text{ m/s}\
  6. Calcular a Vazão (Q):
     • $Q = A_1 V_1 = 0.03 \text{ m}^2 \times 4 \text{ m/s} = 0.12 \text{ m}^3\text{/s}$.
• (C) Incorreta: Esta alternativa não pode ser derivada de erros comuns ou diretos nas fórmulas.
• (D) Incorreta: Esta alternativa pode ser obtida se o aluno calcular corretamente $V_1 = 4 \text{ m/s}$ e $V_2 = 16 \text{ m/s}$, mas cometer o erro de usar a área da seção maior ($A_1$) com a velocidade da seção menor ($V_2$). Ou seja, $Q = A_1 V_2 = 0.03 \times 16 = 0.48 \text{ m}^3\text{/s}$.
• (E) Incorreta: Esta alternativa não é resultado de um erro comum ou direto de cálculo no contexto deste problema.