Questão de Engenharia Civil · FGV MP-SC 2022 (nº 73)

O hidrograma unitário (HU) é um gráfico que representa a vazão de um rio ao longo do tempo em resposta a uma chuva efetiva unitária (geralmente 1 mm ou 1 cm de profundidade) que ocorre uniformemente sobre a bacia durante um período de tempo específico. Ele é usado para prever a resposta da bacia a diferentes eventos de chuva, aplicando os princípios de superposição e linearidade.

Para obter um hidrograma unitário de uma duração diferente ($D'$) a partir de um hidrograma unitário de duração conhecida ($D$), utiliza-se o Método da Curva S ou o Método da Superposição. Neste caso, queremos obter um HU de 40 minutos ($D' = 40$ min) a partir de um HU de 10 minutos ($D = 10$ min).

1. Construção da Curva S ($S_{10}$): A Curva S representa a vazão resultante de uma precipitação efetiva unitária contínua e infinita de duração $D$ (10 minutos). Ela é obtida somando-se o HU de 10 minutos consigo mesmo, defasado por intervalos de 10 minutos, até que a vazão se estabilize.
   $S_{10}(t) = \sum_{i=0}^{\infty} HU_{10}(t - i \cdot 10 \text{ min})$

   Tempo (min)	$HU_{10}(t)$	$S_{10}(t)$ (soma acumulada)
   0	0	0
   10	0.01	0.01
   20	0.05	0.01 + 0.05 = 0.06
   30	0.1	0.06 + 0.1 = 0.16
   40	0.2	0.16 + 0.2 = 0.36
   50	0.15	0.36 + 0.15 = 0.51
   60	0.08	0.51 + 0.08 = 0.59
   70	0.03	0.59 + 0.03 = 0.62
   80	0.01	0.62 + 0.01 = 0.63
   90	0	0.63 + 0 = 0.63
   100	0	0.63 + 0 = 0.63
   ...	...	... (A curva S se estabiliza em 0.63 m³/s para $t \ge 80$ min)

   A vazão de equilíbrio da Curva S é 0.63 m³/s.

2. Derivação do HU de 40 minutos ($HU_{40}$): O HU de 40 minutos é obtido subtraindo-se uma Curva S defasada por $D'$ (40 minutos) da Curva S original e dividindo o resultado pela razão entre as durações ($N = D'/D$).
   $HU_{40}(t) = \frac{1}{N} [S_{10}(t) - S_{10}(t - D')]$
   Onde $N = D'/D = 40 \text{ min} / 10 \text{ min} = 4$.

   $HU_{40}(t) = \frac{1}{4} [S_{10}(t) - S_{10}(t - 40 \text{ min})]$

   Vamos calcular os valores de $HU_{40}(t)$:

   Tempo (min)	$S_{10}(t)$	$S_{10}(t-40)$	$S_{10}(t) - S_{10}(t-40)$	$HU_{40}(t) = \frac{1}{4} [\dots]$
   0	0	0	0	0
   10	0.01	0	0.01	0.0025
   20	0.06	0	0.06	0.015
   30	0.16	0	0.16	0.04
   40	0.36	0	0.36	0.09
   50	0.51	0.01	0.50	0.125
   60	0.59	0.06	0.53	0.1325
   70	0.62	0.16	0.46	0.115
   80	0.63	0.36	0.27	0.0675
   90	0.63	0.51	0.12	0.03
   100	0.63	0.59	0.04	0.01
   110	0.63	0.62	0.01	0.0025
   120	0.63	0.63	0	0

   A vazão de pico do hidrograma unitário de 40 minutos é 0.1325 m³/s, ocorrendo no tempo de 60 minutos. Este valor não corresponde a nenhuma das alternativas, o que sugere uma possível inconsistência entre o problema e o gabarito fornecido. No entanto, seguindo a instrução de explicar o gabarito oficial, analisaremos as alternativas.

(A) Correta: 0,201666667;
A obtenção deste valor como vazão de pico do HU de 40 minutos implicaria que o pico da diferença das Curvas S, $[S_{10}(t) - S_{10}(t - 40 \text{ min})]$, seria de aproximadamente $4 \times 0.201666667 = 0.806666668$. No entanto, pelos cálculos padrão da hidrologia (Método da Curva S ou Superposição), o pico dessa diferença é 0.53 m³/s, resultando em um pico de HU de 40 minutos de 0.1325 m³/s. Atingir 0.201666667 exigiria uma alteração nos dados de entrada ou uma interpretação não-padrão do método.

(B) Incorreta: 0,253333333;
Este valor não é obtido por métodos padrão de derivação de hidrogramas unitários de diferentes durações a partir dos dados fornecidos.

(C) Incorreta: 0,626666667;
Esta alternativa é um distrator tentador. O valor 0.626666667 é muito próximo de 0.63, que é a vazão de equilíbrio da Curva S (a soma de todas as ordenadas do HU de 10 minutos). A armadilha aqui é confundir a vazão de equilíbrio da Curva S com a vazão de pico do hidrograma unitário de maior duração. A vazão de equilíbrio da Curva S representa a vazão constante que ocorreria se a chuva efetiva unitária durasse infinitamente, e não a vazão de pico de um hidrograma unitário de duração finita.

(D) Incorreta: 0,806666667;
Este valor é $4 \times 0.201666667$. Se fosse o pico da diferença das Curvas S ($S_{10}(t) - S_{10}(t - 40 \text{ min})$), então a alternativa A seria o pico do HU de 40 minutos. No entanto, o pico da diferença das Curvas S calculado é 0.53 m³/s, não 0.806666667 m³/s.

(E) Incorreta: 1,013333333;
Este valor não é obtido por métodos padrão de derivação de hidrogramas unitários de diferentes durações a partir dos dados fornecidos.