Questão de Planejamento da Geração de Energia · FGV EPE 2024 (nº 33)

A Programação Linear é uma técnica matemática para encontrar a melhor solução (como o custo mínimo ou lucro máximo) para um problema, considerando um conjunto de condições ou limitações (chamadas restrições) que devem ser satisfeitas. Para resolver, primeiro definimos as variáveis, a função objetivo (o que queremos minimizar/maximizar) e as restrições.

Vamos definir as variáveis:

• $x_A$: Unidades de energia produzidas na Planta A
• $x_B$: Unidades de energia produzidas na Planta B

A função objetivo é minimizar o custo total ($C$):
$C = 5x_A + 3x_B$

As restrições são:

1. Demanda mínima mensal de 4 unidades: x_A + x_B \ge 4\
2. Produção da Planta A seja pelo menos metade da produção da Planta B: $x_A \ge 0.5x_B$ (ou $2x_A \ge x_B$)
3. Produção não-negativa: $x_A \ge 0$, $x_B \ge 0$

Para encontrar o custo mínimo, avaliamos os pontos de canto da região viável (a área que satisfaz todas as restrições).
O ponto de canto ótimo para problemas de minimização geralmente ocorre na intersecção das restrições ativas. Neste caso, as restrições que definem o ponto de mínimo são a demanda mínima e a relação entre as produções:

1. $x_A + x_B = 4$ (assumimos igualdade para encontrar o limite mínimo)
2. $x_A = 0.5x_B$ (assumimos igualdade para encontrar o limite mínimo, pois o custo de $x_A$ é maior)

Substituindo a segunda equação na primeira:
$0.5x_B + x_B = 4$
$1.5x_B = 4$
$x_B = 4 / 1.5 = 4 / (3/2) = 8/3$ unidades

Agora, encontramos $x_A$:
$x_A = 0.5 * (8/3) = 4/3$ unidades

Verificamos se este ponto $(x_A = 4/3, x_B = 8/3)$ satisfaz todas as restrições:

• $4/3 + 8/3 = 12/3 = 4 \ge 4$ (OK)
• $4/3 \ge 0.5 * (8/3) \implies 4/3 \ge 4/3$ (OK)
• $4/3 \ge 0$, $8/3 \ge 0$ (OK)

Calculamos o custo para este ponto:
$C = 5 * (4/3) + 3 * (8/3)$
$C = 20/3 + 24/3$
$C = 44/3 \approx 14.67$

Este valor de R$14,67 está entre R$13 e R$15.

(A) Incorreta: O valor calculado de R$14,67 não se encaixa neste intervalo.
(B) Incorreta: O valor calculado de R$14,67 não se encaixa neste intervalo.
(C) Correta: O custo mínimo de R$14,67 está neste intervalo. Este é o resultado da otimização linear, onde o ponto de produção $(x_A=4/3, x_B=8/3)$ minimiza o custo total enquanto atende a todas as restrições do problema.
(D) Incorreta: O valor calculado de R$14,67 não se encaixa neste intervalo. Armadilha: Um erro comum seria interpretar a restrição "produção da Planta A seja pelo menos metade da produção da Planta B" como $x_B \ge 0.5x_A$ (Planta B é pelo menos metade da Planta A). Se isso fosse feito, o ponto de intersecção seria $(x_A=8/3, x_B=4/3)$, resultando em um custo de $5(8/3) + 3(4/3) = 40/3 + 12/3 = 52/3 \approx 17.33$, que estaria na alternativa E. A correta interpretação é $x_A \ge 0.5x_B$.
(E) Incorreta: O valor calculado de R$14,67 não se encaixa neste intervalo. Veja a armadilha na alternativa D.