Questão de Planejamento da Geração de Energia · FGV EPE 2024 (nº 28)

A Probabilidade Condicional nos ajuda a recalcular a chance de um evento (a causa) ter acontecido, depois que já sabemos que outro evento (o efeito) ocorreu. O Teorema de Bayes é a ferramenta matemática para fazer essa "atualização" de probabilidade.

Vamos definir os eventos:

• $M$: Sistema operado manualmente.
• $A$: Sistema operado automaticamente.
• $E$: Sistema teve um erro.

As probabilidades dadas são:

• $P(M) = 0,3$ (Probabilidade de ser operado manualmente)
• Como só pode ser manual ou automático, $P(A) = 1 - P(M) = 1 - 0,3 = 0,7$ (Probabilidade de ser operado automaticamente)
• $P(E|M) = 0,05$ (Probabilidade de erro dado que foi manual)
• $P(E|A) = 0,01$ (Probabilidade de erro dado que foi automático)

A questão pede $P(M|E)$, ou seja, a probabilidade de ter sido operado manualmente dado que houve um erro. Usamos o Teorema de Bayes:
$P(M|E) = \frac{P(E|M) \cdot P(M)}{P(E)}$

Primeiro, precisamos calcular a probabilidade total de ocorrer um erro, $P(E)$, usando a Lei da Probabilidade Total:
$P(E) = P(E|M) \cdot P(M) + P(E|A) \cdot P(A)$
$P(E) = (0,05 \cdot 0,3) + (0,01 \cdot 0,7)$
$P(E) = 0,015 + 0,007$
$P(E) = 0,022$

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes:
$P(M|E) = \frac{0,015}{0,022}$
$P(M|E) \approx 0,6818...$

Arredondando para duas casas decimais, temos 0,68.

(A) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto da probabilidade condicional. Não é resultado de uma operação comum ou de um erro simples no Teorema de Bayes.
(B) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto da probabilidade condicional.
(C) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto da probabilidade condicional.
(D) Correta: O cálculo usando o Teorema de Bayes resulta em $P(M|E) = \frac{P(E|M) \cdot P(M)}{P(E)} = \frac{0,05 \cdot 0,3}{(0,05 \cdot 0,3) + (0,01 \cdot 0,7)} = \frac{0,015}{0,015 + 0,007} = \frac{0,015}{0,022} \approx 0,68$.
(E) Incorreta: Este é um distrator tentador. A armadilha aqui é um pequeno erro aritmético na soma das probabilidades no denominador ($P(E)$). Por exemplo, se o termo $P(E|A) \cdot P(A)$ fosse calculado incorretamente como $0,005 (em vez de \0,007$), o$P(E) seria \0,015 + 0,005 = 0,020$. Então,$P(M|E) = \frac{0,015}{0,020} = 0,75$, que é próximo de 0,73. Ou, se$P(E) fosse \0,0205$, o resultado seria$\approx 0,7317$. A pegadinha está em um deslize na aritmética, especialmente na soma dos termos que compõem a probabilidade total do evento (erro).