Questão de Meio Ambiente - Recursos Hídricos · FGV EPE 2024 (nº 30)

A função densidade de probabilidade (FDP), ou PDF, descreve a probabilidade relativa de uma variável aleatória contínua assumir um determinado valor. Para encontrar a probabilidade de a variável cair em um intervalo, integramos a FDP sobre esse intervalo.

• (A) Incorreta: O valor de 0,55 não corresponde ao cálculo correto da integral da FDP no intervalo solicitado.
• (B) Incorreta: O valor de 0,61 não corresponde ao cálculo correto da integral da FDP no intervalo solicitado.
• (C) Incorreta: Este valor (0,75) representa apenas a probabilidade $P(X < 150)$, ou seja, a integral da primeira parte da função $f_X(x)$ de 0 a 150. É uma armadilha para quem não integra a segunda parte da função até 170mm.
• (D) Incorreta: O valor de 0,84 não corresponde ao cálculo correto da integral da FDP no intervalo solicitado.
• (E) Correta: Para calcular $P(X < 170mm)$, devemos integrar a função densidade de probabilidade $f_X(x)$ de 0 a 170. Como a função é definida em partes, dividimos a integral:
  $P(X < 170) = \int_0^{150} \frac{x}{15000} dx + \int_{150}^{170} (0.04 - \frac{x}{5000}) dx$

Primeira parte:
$\int_0^{150} \frac{x}{15000} dx = \left[ \frac{x^2}{30000} \right]_0^{150} = \frac{150^2}{30000} - 0 = \frac{22500}{30000} = \frac{225}{300} = \frac{3}{4} = 0.75$

Segunda parte:
$\int_{150}^{170} (0.04 - \frac{x}{5000}) dx = \left[ 0.04x - \frac{x^2}{10000} \right]_{150}^{170}$
$= (0.04 \times 170 - \frac{170^2}{10000}) - (0.04 \times 150 - \frac{150^2}{10000})$
$= (6.8 - \frac{28900}{10000}) - (6.0 - \frac{22500}{10000})$
$= (6.8 - 2.89) - (6.0 - 2.25)$
$= 3.91 - 3.75 = 0.16$

Somando as duas partes:
$P(X < 170) = 0.75 + 0.16 = 0.91$.