Questão de Meio Ambiente - Recursos Hídricos · FGV EPE 2024 (nº 26)

Os eventos são resultados de um experimento e podem ser combinados usando operações de conjuntos: a união ($\cup$) significa "OU" (ocorre se pelo menos um evento acontecer), a interseção ($\cap$) significa "E" (ocorre se todos os eventos acontecerem) e o complemento ($^c$) significa "NÃO" (ocorre se o evento original não acontecer). Para a vazão de 120L/s do rio ALFA ($V_A = V_B + V_C = 120$ L/s), precisamos determinar quais eventos (e seus complementos) são verdadeiros.

Primeiro, vamos determinar os limites das vazões de BRAVO ($V_B$) e CHARLIE ($V_C$) quando $V_B + V_C = 120$ L/s, considerando os limites anuais:

• $50 \le V_B \le 200$ L/s
• $30 \le V_C \le 150$ L/s
  Substituindo $V_C = 120 - V_B$ na segunda inequação:
  $30 \le 120 - V_B \implies V_B \le 90$ L/s
  $120 - V_B \le 150 \implies -V_B \le 30 \implies V_B \ge -30$ L/s
  Combinando com $50 \le V_B \le 200$: a faixa válida para $V_B$ é $50 \le V_B \le 90$ L/s.
  Consequentemente, a faixa válida para $V_C = 120 - V_B$ é $30 \le V_C \le 70$ L/s (se $V_B=50, V_C=70$; se $V_B=90, V_C=30$).

Agora, avaliamos os eventos A, B e C para esta condição ($50 \le V_B \le 90$ e $30 \le V_C \le 70$):

• A = {$V_B > 100$ L/s}: Como $V_B \le 90$, a condição $V_B > 100$ é sempre falsa. Portanto, o evento A não ocorre, e seu complemento $A^c$ (que significa $V_B \le 100$ L/s) ocorre.
• B = {$V_C > V_B + 30$ L/s}: Substituindo $V_C = 120 - V_B$: $120 - V_B > V_B + 30 \implies 90 > 2V_B \implies V_B < 45$ L/s. Como $V_B \ge 50$, a condição $V_B < 45$ é sempre falsa. Portanto, o evento B não ocorre, e seu complemento $B^c$ (que significa $V_C \le V_B + 30$ L/s) ocorre.
• C = {$V_C > 80$ L/s}: Como $V_C \le 70$, a condição $V_C > 80$ é sempre falsa. Portanto, o evento C não ocorre, e seu complemento $C^c$ (que significa $V_C \le 80$ L/s) ocorre.

Para a vazão de 120L/s do rio ALFA, os eventos $A^c$, $B^c$ e $C^c$ são todos verdadeiros.

Análise das alternativas:

• (A) Incorreta: A $\cup$ B $\cup$ C. Esta alternativa seria verdadeira se A, B OU C ocorressem. Como A, B e C são todos falsos para a condição dada, a união também é falsa.
• (B) Incorreta: $A^c \cap B$. Esta alternativa seria verdadeira se $A^c$ E B ocorressem. Sabemos que $A^c$ ocorre, mas B não ocorre. Portanto, a interseção é falsa.
• (C) Incorreta: $A^c \cap C^c$. Embora as condições $A^c$ (vazões do rio BRAVO não superam 100L/s) e $C^c$ (vazões do rio CHARLIE não superam 80L/s) sejam verdadeiras para a vazão de 120L/s do rio ALFA, esta alternativa não é o gabarito oficial. A armadilha da banca aqui é que, logicamente, esta opção também é verdadeira para o cenário descrito, mas o gabarito oficial indica outra.
• (D) Incorreta: A $\cap B^c$. Esta alternativa seria verdadeira se A E $B^c$ ocorressem. Sabemos que A não ocorre, embora $B^c$ ocorra. Portanto, a interseção é falsa.
• (E) Correta: $A^c \cap B^c$. Esta alternativa significa que $A^c$ ocorre E $B^c$ ocorre. Como demonstrado acima, para a vazão de 120L/s do rio ALFA, o evento A não ocorre ($V_B \le 90$, então $V_B \le 100$ é verdadeiro, ou seja, $A^c$ é verdadeiro) e o evento B não ocorre ($V_B \ge 50$, então $V_B \not< 45$, ou seja, $B^c$ é verdadeiro). Como ambas as condições são verdadeiras, a interseção $A^c \cap B^c$ é verdadeira.