Questão de Meio Ambiente - Recursos Hídricos · FGV EPE 2024 (nº 29)

O Teorema de Bayes nos ajuda a recalcular a probabilidade de um evento acontecer, considerando que uma nova informação (evidência) se tornou conhecida. Ele nos permite "atualizar" nossa crença sobre a causa de algo, dado o que observamos.

(A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo correto da probabilidade condicional solicitada.
(B) Correta: Para resolver, usamos o Teorema de Bayes. Queremos a probabilidade de um "1" ter sido transmitido ($T_1$) dado que um "0" foi recebido ($R_0$), ou seja, $P(T_1 | R_0)$.
As probabilidades dadas são:

• $P(T_0) = 0.70$ (probabilidade de transmitir "0")
• $P(T_1) = 0.30$ (probabilidade de transmitir "1")
• $P(\text{erro}) = 0.25$ (probabilidade de o código ser trocado). Isso significa:
  • $P(R_0 | T_1) = 0.25$ (transmitiu "1", recebeu "0" - erro)
  • $P(R_1 | T_0) = 0.25$ (transmitiu "0", recebeu "1" - erro)
• A probabilidade de acerto é $1 - 0.25 = 0.75$. Isso significa:
  • $P(R_0 | T_0) = 0.75$ (transmitiu "0", recebeu "0" - acerto)
  • $P(R_1 | T_1) = 0.75$ (transmitiu "1", recebeu "1" - acerto)

A fórmula de Bayes é $P(T_1 | R_0) = \frac{P(R_0 | T_1) \cdot P(T_1)}{P(R_0)}$.
Primeiro, calculamos a probabilidade total de receber "0", $P(R_0)$, usando a Lei da Probabilidade Total:
$P(R_0) = P(R_0 | T_0) \cdot P(T_0) + P(R_0 | T_1) \cdot P(T_1)$
$P(R_0) = (0.75 \cdot 0.70) + (0.25 \cdot 0.30)$
$P(R_0) = 0.525 + 0.075$
$P(R_0) = 0.600$

Agora, aplicamos a fórmula de Bayes:
$P(T_1 | R_0) = \frac{0.25 \cdot 0.30}{0.600}$
$P(T_1 | R_0) = \frac{0.075}{0.600}$
$P(T_1 | R_0) = 0.125$
(C) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado do cálculo correto.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado do cálculo correto.
(E) Incorreta: Esta é a probabilidade de erro de transmissão ($P(R_0 | T_1)$ ou $P(R_1 | T_0)$), mas não a probabilidade de um "1" ter sido transmitido dado que um "0" foi recebido, considerando as probabilidades iniciais de transmissão. A armadilha aqui é confundir a probabilidade condicional que se busca com uma das probabilidades condicionais dadas diretamente no enunciado. O Teorema de Bayes é necessário para inverter a condição.