Questão de Meio Ambiente - Recursos Hídricos · FGV EPE 2024 (nº 28)

O Teorema da Probabilidade Total é uma ferramenta que nos permite calcular a probabilidade de um evento (neste caso, a demanda não ser atendida) considerando diferentes cenários mutuamente exclusivos (que não podem acontecer ao mesmo tempo) e exaustivos (que cobrem todas as possibilidades). Se temos cenários $B_1, B_2, ..., B_n$ que formam uma partição, a probabilidade de um evento $A$ é $P(A) = \sum P(A|B_i)P(B_i)$.

No problema, os cenários são qual reservatório está funcionando:

1. Cenário 1: Reservatório 1 está funcionando ($F_1$). $P(F_1) = 0,6$.
2. Cenário 2: Reservatório 2 está funcionando ($F_2$). $P(F_2) = 0,4$.
   Como "quando um reservatório está ativado, o outro está desativado" e a soma de suas probabilidades é $0,6 + 0,4 = 1$, esses dois cenários formam uma partição.

Queremos calcular a probabilidade de a demanda não ser atendida ($NM$). Usando o Teorema da Probabilidade Total:
$P(NM) = P(NM | F_1) \times P(F_1) + P(NM | F_2) \times P(F_2)$.

Para calcular $P(NM | F_1)$ e $P(NM | F_2)$, precisamos entender quando a demanda não é atendida. A demanda não é atendida se for maior que a capacidade do reservatório ativo.
As probabilidades de demanda são dadas como:

• $P(\text{demanda} \ge 40.000 \text{ L}) = 0,5$
• $P(\text{demanda} \ge 50.000 \text{ L}) = 0,2$

É uma prática comum em problemas desse tipo, quando não há informação sobre a probabilidade de a demanda ser exatamente um valor (ex: $P(D=40.000)$), assumir que essa probabilidade é zero (como em variáveis contínuas). Assim, $P(D > C) = P(D \ge C)$.

1. Probabilidade de demanda não ser atendida se o Reservatório 1 funciona ($P(NM | F_1)$):

   • Capacidade do R1 = 40.000 L.
   • A demanda não é atendida se $D > 40.000 \text{ L}$.
   • Assumindo $P(D > 40.000 \text{ L}) = P(D \ge 40.000 \text{ L})$, temos $P(NM | F_1) = 0,5$.

2. Probabilidade de demanda não ser atendida se o Reservatório 2 funciona ($P(NM | F_2)$):

   • Capacidade do R2 = 50.000 L.
   • A demanda não é atendida se $D > 50.000 \text{ L}$.
   • Assumindo $P(D > 50.000 \text{ L}) = P(D \ge 50.000 \text{ L})$, temos $P(NM | F_2) = 0,2$.

Agora, aplicamos o Teorema da Probabilidade Total:
$P(NM) = (0,5) \times (0,6) + (0,2) \times (0,4)$
$P(NM) = 0,30 + 0,08$
$P(NM) = 0,38$.

• (A) Incorreta: Representa apenas a probabilidade de o Reservatório 2 estar ativo E a demanda não ser atendida ($0,4 \times 0,2 = 0,08$), ignorando o cenário do Reservatório 1.
• (B) Incorreta: Representa apenas a probabilidade de o Reservatório 1 estar ativo E a demanda não ser atendida ($0,6 \times 0,5 = 0,30$), ignorando o cenário do Reservatório 2.
• (C) Incorreta: Este valor não corresponde a uma combinação lógica das probabilidades dadas. Uma possível armadilha seria confundir as condições de falha ou usar probabilidades incorretas para os cenários.
• (D) Correta: É o resultado da aplicação correta do Teorema da Probabilidade Total, somando as probabilidades de a demanda não ser atendida em cada cenário (Reservatório 1 ativo ou Reservatório 2 ativo), ponderadas pela probabilidade de cada cenário.
• (E) Incorreta: Este valor (0,62) é a probabilidade de a demanda ser atendida. É o complemento da resposta correta ($1 - 0,38 = 0,62$), um distrator comum em questões de probabilidade.