Questão de Matemática Financeira · FGV CGE-SC 2022 (nº 53)

Para compor recursos com depósitos que crescem em valor, usamos o conceito de série de pagamentos em progressão geométrica. Cada depósito é capitalizado a juros compostos, onde o dinheiro rende juros sobre juros. O termo "antecipado" significa que os depósitos são feitos no início de cada período.

Cálculo:

1. Identificar os dados:

   • Primeiro depósito ($P_1$): R$ 3.700,00
   • Número de depósitos ($n$): 12
   • Taxa de crescimento dos depósitos ($g$): 20% ao mês, então o fator de crescimento é $(1+g) = 1,20$
   • Taxa de juros compostos ($i$): 1,5% ao mês, então o fator de capitalização é $(1+i) = 1,015$
   • Depósitos: Antecipados
   • Resgate: 1 mês após o último depósito.
   • Tarifas bancárias: 10% do montante bruto.
   • Aproximações: $1,015^{12} = 1,20$; 1,20^{12} = 9,00\

2. Determinar o momento do resgate:
   Os depósitos são antecipados.

   • 1º depósito: no início do 1º mês (t=0)
   • 2º depósito: no início do 2º mês (t=1)
   • ...
   • 12º depósito: no início do 12º mês (t=11)
     O último depósito é feito em t=11. O resgate ocorre "um mês depois do último depósito", ou seja, em t=11+1 = t=12.
     A fórmula para o valor futuro (FV) de uma série de pagamentos em progressão geométrica antecipada, calculada no final do período $n$ (que corresponde ao momento do resgate t=12 neste caso), é:
     FV = P_1 \times (1+i) \times \frac{[(1+i)^n - (1+g)^n]}{[(1+i) - (1+g)]}\

3. Aplicar a fórmula e as aproximações:
   $FV_{bruto} = 3700 \times (1,015) \times \frac{[(1,015)^{12} - (1,20)^{12}]}{[(1,015) - (1,20)]}$
   Usando as aproximações:
   $FV_{bruto} = 3700 \times 1,015 \times \frac{[1,20 - 9,00]}{[1,015 - 1,20]}$
   $FV_{bruto} = 3700 \times 1,015 \times \frac{-7,80}{-0,185}$
   $FV_{bruto} = 3700 \times 1,015 \times \frac{7,80}{0,185}$

   Para evitar arredondamentos intermediários, vamos simplificar a fração:
   $\frac{7,80}{0,185} = \frac{7800}{185} = \frac{1560}{37}$

   $FV_{bruto} = 3700 \times 1,015 \times \frac{1560}{37}$
   $FV_{bruto} = \frac{3700}{37} \times 1,015 \times 1560$
   $FV_{bruto} = 100 \times 1,015 \times 1560$
   $FV_{bruto} = 101,5 \times 1560$
   FV_{bruto} = R\ 158.340,00$

4. Calcular o valor líquido:
   As tarifas bancárias são de 10% do montante bruto.
   Valor líquido = $FV_{bruto} \times (1 - 0,10)$
   Valor líquido = $158.340,00 \times 0,90$
   Valor líquido = R\ 142.506,00$

(A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
(B) Incorreta: Esta alternativa (R$ 140.400,00) seria o resultado se os depósitos fossem postecipados (feitos no final de cada período) em vez de antecipados. Nesse caso, a fórmula não incluiria o fator $(1+i)$, resultando em $3700 \times \frac{1560}{37} = 156.000,00$. Aplicando a tarifa de 10%, teríamos $156.000,00 \times 0,90 = 140.400,00$. Esta é uma armadilha comum em questões de matemática financeira.
(C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
(D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
(E) Correta: O valor líquido resgatado é de R$ 142.506,00, obtido ao calcular o valor futuro de uma série de pagamentos em progressão geométrica antecipada, e subtrair as tarifas bancárias de 10%.