Questão de Matemática Financeira · FGV CGE-SC 2022 (nº 49)

O Sistema de Amortizações Constantes (SAC) é um método de pagamento de dívidas onde a parte do valor que abate a dívida (chamada amortização) é sempre a mesma em cada parcela. Os juros são calculados sobre o saldo devedor que ainda resta, e como esse saldo diminui, os juros também diminuem, fazendo com que o valor total da parcela (amortização + juros) seja decrescente. A taxa de juros efetiva é a taxa real que incide sobre o capital em um determinado período, considerando a frequência de capitalização; se a capitalização é diferente da frequência dos pagamentos, é preciso converter a taxa para o período de pagamento.

Passo a passo da resolução:

1. Calcular a Taxa de Juros Efetiva Anual: A taxa é de 20% ao ano com capitalização semestral. Como os pagamentos são anuais, precisamos da taxa anual efetiva.

   • Taxa semestral = 20% / 2 = 10% = 0,10.
   • Taxa anual efetiva (i) = $(1 + \text{taxa semestral})^2 - 1$
   • $i = (1 + 0,10)^2 - 1 = (1,10)^2 - 1 = 1,21 - 1 = 0,21 = 21\%$ ao ano.
   • Pegadinha: Usar 20% diretamente seria um erro comum, pois a capitalização semestral aumenta a taxa efetiva anual.

2. Calcular o Valor da Amortização Constante (A):

   • $A = \text{Dívida Inicial} / \text{Número de Pagamentos}$
   • A = R\ 300.000,00 / 5 = R$ 60.000,00$.

3. Calcular o Saldo Devedor antes do Último Pagamento (5º pagamento):

   • No SAC, após cada pagamento, o saldo devedor diminui em R$ 60.000,00.
   • Saldo Devedor após 4 pagamentos = Dívida Inicial - (4 * Amortização)
   • Saldo Devedor após 4 pagamentos = R\ 300.000,00 - (4 * R$ 60.000,00)$
   • Saldo Devedor após 4 pagamentos = R\ 300.000,00 - R$ 240.000,00 = R$ 60.000,00$.

4. Calcular os Juros do Último Pagamento (J5):

   • Os juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior.
   • $J5 = \text{Saldo Devedor após 4 pagamentos} * \text{Taxa anual efetiva}$
   • J5 = R\ 60.000,00 * 0,21$
   • J5 = R\ 12.600,00$.

5. Calcular o Valor do Último Pagamento (P5):

   • $P5 = \text{Amortização} + \text{Juros do 5º período}$
   • P5 = R\ 60.000,00 + R$ 12.600,00$
   • P5 = R\ 72.600,00$.

(A) Incorreta: Não corresponde aos cálculos utilizando a taxa efetiva correta.
(B) Correta: O valor do último pagamento é a soma da amortização constante (R$ 60.000,00) com os juros calculados sobre o saldo devedor remanescente (R$ 60.000,00) usando a taxa anual efetiva de 21% (R$ 12.600,00), totalizando R$ 72.600,00.
(C) Incorreta: Esta alternativa seria correta se a taxa de juros anual fosse de 20% efetiva (sem capitalização semestral), ou seja, se os juros fossem R\ 60.000,00 * 0,20 = R$ 12.000,00$, resultando em$R$ 60.000,00 + R$ 12.000,00 = R$ 72.000,00$. **Esta é a principal armadilha da banca**, pois muitos alunos podem esquecer de converter a taxa nominal para a taxa efetiva anual. **(D) Incorreta:** Este valor representa apenas os juros do último pagamento, não o pagamento total. **(E) Incorreta:** Este valor representa apenas os juros do último pagamento, mas calculados com a taxa nominal de 20$ 60.000,00 * 0,20 = R$ 12.000,00), ignorando a capitalização semestral.