Questão de Matemática Financeira · FGV CGE-SC 2022 (nº 47)

A equivalência de capitais em juros compostos significa que diferentes fluxos de pagamentos são considerados iguais se seus valores presentes (o valor que eles teriam hoje) forem os mesmos, calculados a uma dada taxa de juros.

Para a Opção I (primeira prestação no ato da compra), trata-se de uma série de pagamentos antecipados. O valor presente (PV) é igual à soma da primeira prestação (PI) no tempo zero com o valor presente da segunda prestação (PI) descontada por um mês:
$PV = PI + \frac{PI}{(1+i)^1}$
$1230 = PI + \frac{PI}{(1+0,05)}$
$1230 = PI \left(1 + \frac{1}{1,05}\right)$
$1230 = PI \left(\frac{1,05+1}{1,05}\right)$
$1230 = PI \left(\frac{2,05}{1,05}\right)$
PI = 1230 \times \frac{1,05}{2,05} = 1230 \times \frac{21}{41} = R\ 630,00$.

Para a Opção II (primeira prestação um mês após a compra), trata-se de uma série de pagamentos postecipados. O valor presente (PV) é igual à soma dos valores presentes da primeira e segunda prestações (PII), ambas descontadas para o tempo zero:
$PV = \frac{PII}{(1+i)^1} + \frac{PII}{(1+i)^2}$
$1230 = \frac{PII}{(1+0,05)} + \frac{PII}{(1+0,05)^2}$
$1230 = PII \left(\frac{1}{1,05} + \frac{1}{(1,05)^2}\right)$
$1230 = PII \left(\frac{1,05+1}{(1,05)^2}\right)$
$1230 = PII \left(\frac{2,05}{1,1025}\right)$
PII = 1230 \times \frac{1,1025}{2,05} = 1230 \times \frac{441}{820} = R\ 661,50$.

O valor PII – PI é 661,50 - 630,00 = R\ 31,50$.

(A) Correta: O cálculo preciso das prestações para as duas opções (R$ 661,50 para PII e R$ 630,00 para PI) resulta em uma diferença exata de R$ 31,50. A armadilha da banca reside em confundir o momento do primeiro pagamento, que define se a série de pagamentos é antecipada (Opção I) ou postecipada (Opção II), levando a valores de prestações diferentes.
(B) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado exato da diferença entre PII e PI.
(C) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado exato da diferença entre PII e PI.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado exato da diferença entre PII e PI.
(E) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado exato da diferença entre PII e PI.