Questão de Matemática Financeira · FGV AGENERSA 2023 (nº 75)

O Sistema de Amortização Misto (SAM) é um método de pagamento de empréstimos que calcula cada prestação como a média aritmética das prestações correspondentes do Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) e do Sistema de Amortizações Constantes (SAC). Alternativamente, a amortização de cada período no SAM é a média das amortizações de Price e SAC, somada aos juros do período.

Para resolver a questão, precisamos primeiro determinar o valor do empréstimo (saldo devedor inicial) e, em seguida, calcular a 1ª prestação pelo SAC para então aplicar a regra do SAM.

1. Calcular o Saldo Devedor (VP):
   Pelo Sistema Price, sabemos que a 1ª prestação (P1_Price) é R 41.472,00 e a 1ª amortização (A1_Price) é R\ 20.000,00.
   A 1ª prestação é composta por juros e amortização: $P1 = J1 + A1$.
   Então, os juros da 1ª parcela (J1) são: J1 = P1\_Price - A1\_Price = R\ 41.472,00 - R$ 20.000,00 = R$ 21.472,00$. Os juros da 1ª parcela são calculados sobre o saldo devedor inicial (VP):$J1 = VP \times i$. Com a taxa de juros$i = 20% a.a. = 0,20$, temos:$VP = J1 / i = R$ 21.472,00 / 0,20 = R$ 107.360,00$.
   Este é o valor do empréstimo.

2. Calcular a 1ª Prestação pelo SAC (P1_SAC):
   No SAC, as amortizações são constantes. O número de parcelas (n) é 4 anos.
   Amortização constante (A_SAC) = VP / n = R\ 107.360,00 / 4 = R$ 26.840,00$. Os juros da 1ª parcela pelo SAC (J1_SAC) são calculados sobre o saldo devedor inicial:$J1_SAC = VP \times i = R 107.360,00 \times 0,20 = R\ 21.472,00$. A 1ª prestação pelo SAC (P1_SAC) =$A1_SAC + J1_SAC = R$ 26.840,00 + R$ 21.472,00 = R$ 48.312,00$.

3. Calcular a 1ª Prestação pelo SAM (P1_SAM):
   A 1ª prestação pelo SAM é a média aritmética da 1ª prestação de Price e da 1ª prestação de SAC.
   $P1\_SAM = (P1\_Price + P1\_SAC) / 2$
   P1\_SAM = (R\ 41.472,00 + R$ 48.312,00) / 2$$P1_SAM = R$ 89.784,00 / 2 = R$ 44.892,00$.

   Alternativamente, usando a média das amortizações:
   Amortização da 1ª parcela pelo SAM (A1_SAM) = $(A1\_Price + A1\_SAC) / 2$
   A1\_SAM = (R\ 20.000,00 + R$ 26.840,00) / 2 = R$ 46.840,00 / 2 = R$ 23.420,00$. A 1ª prestação pelo SAM (P1_SAM) =$A1_SAM + J1_SAM$Como os juros da 1ª parcela são sempre sobre o saldo devedor inicial,$J1_SAM = J1_Price = J1_SAC = R$ 21.472,00$.$P1_SAM = R$ 23.420,00 + R$ 21.472,00 = R$ 44.892,00$.
   Ambos os métodos levam ao mesmo resultado.

(A) Incorreta: Este valor (R$ 48.312,00) corresponde à 1ª prestação se o empréstimo fosse contratado pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC), e não pelo SAM.
(B) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma etapa intermediária ou cálculo direto dos sistemas de amortização envolvidos.
(C) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma etapa intermediária ou cálculo direto dos sistemas de amortização envolvidos.
(D) Correta: O valor da 1ª parcela no SAM é R$ 44.892,00, obtido pela média aritmética da 1ª prestação da Tabela Price (R$ 41.472,00) e da 1ª prestação da Tabela SAC (R$ 48.312,00).
(E) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma etapa intermediária ou cálculo direto dos sistemas de amortização envolvidos.