Questão de Matemática Financeira · FGV AGENERSA 2023 (nº 73)

A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de juros que faz com com que o Valor Presente Líquido (VPL) de um projeto seja igual a zero. Em termos mais simples, é a taxa que iguala o valor presente de todos os benefícios (entradas de caixa) ao valor presente de todos os custos (saídas de caixa) de um investimento. Para calcular o valor desconhecido R, devemos aplicar a fórmula do VPL e igualá-la a zero, usando a TIR fornecida de 10% ao ano.

A fórmula do VPL é:
$VPL = \sum_{t=0}^{n} \frac{FC_t}{(1 + TIR)^t} = 0$

Onde:

• $FC_t$ = Fluxo de caixa no período t
• $TIR$ = Taxa Interna de Retorno (10% ou 0,10)
• $t$ = Período

Aplicando os valores do fluxo de caixa:
$0 = \frac{-200.000}{(1 + 0,10)^0} + \frac{132.000}{(1 + 0,10)^1} + \frac{R}{(1 + 0,10)^2}$

Calculando os termos:

• $(1 + 0,10)^0 = 1$
• $(1 + 0,10)^1 = 1,10$
• $(1 + 0,10)^2 = 1,21$

Substituindo na equação:
$0 = -200.000 + \frac{132.000}{1,10} + \frac{R}{1,21}$
$0 = -200.000 + 120.000 + \frac{R}{1,21}$
$0 = -80.000 + \frac{R}{1,21}$

Agora, isolamos R:
$80.000 = \frac{R}{1,21}$
$R = 80.000 \times 1,21$
$R = 96.800,00$

Portanto, o valor correto de R para que a TIR seja de 10% ao ano é R$ 96.800,00. No entanto, este valor não está entre as alternativas e o gabarito oficial indica a letra E. Isso sugere que a questão pode ter uma interpretação não-padrão da TIR ou um erro no enunciado/gabarito.

Comentário sobre as alternativas:

• (A) Incorreta: O valor de R$ 75.200,00 não corresponde ao cálculo padrão da TIR de 10% ao ano, que resultaria em R$ 96.800,00.
• (B) Incorreta: O valor de R$ 75.000,00 não corresponde ao cálculo padrão da TIR de 10% ao ano.
• (C) Incorreta: O valor de R$ 74.900,00 é muito próximo de R$ 74.800,00. A armadilha da banca para este distrator seria calcular o capital restante subtraindo o fluxo de caixa do ano 1 do investimento inicial (200.000 - 132.000 = 68.000) e então aplicar a taxa de 10% sobre esse valor (68.000 * 1.10 = 74.800). Essa abordagem é incorreta porque ignora o custo de oportunidade do capital no primeiro ano, ou seja, que o investimento inicial de 200.000 deveria ter rendido 10% no primeiro ano antes da entrada de caixa.
• (D) Incorreta: O valor de R$ 74.600,00 não corresponde ao cálculo padrão da TIR de 10% ao ano.
• (E) Correta: O gabarito oficial indica R$ 74.300,00 como a resposta correta. No entanto, conforme demonstrado pelo cálculo padrão da Taxa Interna de Retorno, o valor de R para uma TIR de 10% ao ano deveria ser R$ 96.800,00. Se R$ 74.300,00 é a resposta correta, isso implica que a questão utiliza uma metodologia de cálculo não-padrão para a TIR ou que há um erro no enunciado ou no gabarito fornecido. A partir da definição padrão de TIR, não é possível chegar a este valor.