Questão de Matemática Financeira · FGV AGENERSA 2023 (nº 72)

Capitais equivalentes significam que diferentes valores de dinheiro em momentos distintos têm o mesmo poder de compra ou valor futuro, considerando uma taxa de juros específica. A capitalização composta calcula juros sobre juros, enquanto a capitalização contínua é um caso extremo da composta, onde os juros são calculados e adicionados ao capital infinitas vezes em um período.

Para resolver, primeiro calculamos o montante (valor futuro) do primeiro empréstimo, que usa capitalização composta. Em seguida, usamos esse montante para encontrar o valor presente do segundo empréstimo, que usa capitalização contínua, pois ambos serão quitados pelo mesmo valor.

1. Cálculo do Montante do 1º Empréstimo (Capitalização Composta):

   • Capital Inicial ($P_1$) = R$ 45.000,00
   • Taxa de Juros ($i$) = 10% ao mês = 0,10
   • Tempo ($t$) = 8 meses
   • Fórmula: $FV_1 = P_1 \times (1 + i)^t$
   • $FV_1 = 45.000 \times (1 + 0,10)^8$
   • $FV_1 = 45.000 \times (1,1)^8$
   • Usando a aproximação fornecida: $(1,1)^8 = 2,14$
   • FV_1 = 45.000 \times 2,14 = R\ 96.300,00$

2. Cálculo do Valor Presente do 2º Empréstimo (Capitalização Contínua):

   • Como ambos serão quitados pelo mesmo valor, o montante do segundo empréstimo ($FV_2$) deve ser igual ao montante do primeiro: FV_2 = R\ 96.300,00$.
   • Taxa de Juros ($i$) = 10% ao mês = 0,10
   • Tempo ($t$) = 8 meses
   • Fórmula: $FV_2 = P_2 \times e^{i \times t}$
   • $96.300 = P_2 \times e^{0,10 \times 8}$
   • $96.300 = P_2 \times e^{0,8}$
   • A aproximação fornecida é $e^{0,4} = 1,50$. Podemos calcular $e^{0,8}$ a partir dela:
     • $e^{0,8} = e^{0,4 \times 2} = (e^{0,4})^2 = (1,50)^2 = 2,25$
   • $96.300 = P_2 \times 2,25$
   • P_2 = \frac{96.300}{2,25} = R\ 42.800,00$

O valor do segundo empréstimo é R$ 42.800,00.

• (A) Correta: O valor do segundo empréstimo é R$ 42.800,00, que é menor que R$ 42.900,00.
• (B) Incorreta: O valor calculado (R$ 42.800,00) não está entre R$ 42.900,00 e R$ 43.100,00.
• (C) Incorreta: O valor calculado (R$ 42.800,00) não está entre R$ 43.100,00 e R$ 43.300,00.
• (D) Incorreta: O valor calculado (R$ 42.800,00) não está entre R$ 43.300,00 e R$ 43.500,00.
• (E) Incorreta: O valor calculado (R$ 42.800,00) não é maior que R$ 45.000,00. A armadilha aqui seria interpretar "pagamentos de mesmo valor" como se os capitais iniciais fossem iguais, o que levaria a P_2 = R\ 45.000,00$, ou a um valor próximo se houvesse algum erro de cálculo, mas ainda maior que o correto. No contexto de capitais equivalentes, "pagamentos de mesmo valor" geralmente se refere aos montantes (valores futuros) serem iguais.