Questão de Matemática Financeira · FGV AGENERSA 2023 (nº 80)

O Sistema de Amortização Misto (SAM) é um método de pagamento de empréstimos onde cada parcela é a média aritmética das parcelas correspondentes do Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) e do Sistema de Amortizações Constantes (Tabela SAC). A parcela é composta por amortização do principal e juros sobre o saldo devedor.

• Cálculo do Saldo Devedor Inicial (Principal do Empréstimo):

  • Sabemos que na Tabela Price, a 1ª parcela ($P_{1, Price}$) é R$ 41.472,00 e a amortização da 1ª parcela ($A_{1, Price}$) é R$ 20.000,00.
  • A 1ª parcela é sempre $P_1 = A_1 + J_1$.
  • Portanto, os juros da 1ª parcela ($J_{1, Price}$) são P_{1, Price} - A_{1, Price} = 41.472 - 20.000 = R\ 21.472,00$.
  • Os juros da 1ª parcela são calculados sobre o saldo devedor inicial ($SD_0$ ou Principal) pela taxa de juros ($i$): $J_1 = SD_0 \times i$.
  • $21.472 = SD_0 \times 0,20$ (taxa de 20% a.a.).
  • SD_0 = 21.472 / 0,20 = R\ 107.360,00$. Este é o valor do empréstimo.

• Cálculo da 1ª Parcela pelo SAC ($P_{1, SAC}$):

  • No SAC, a amortização ($A_{SAC}$) é constante em todas as parcelas: $A_{SAC} = SD_0 / n$, onde $n$ é o número de parcelas.
  • A_{SAC} = 107.360 / 4 = R\ 26.840,00$.
  • Os juros da 1ª parcela pelo SAC ($J_{1, SAC}$) são calculados sobre o saldo devedor inicial: J_{1, SAC} = SD_0 \times i = 107.360 \times 0,20 = R\ 21.472,00$.
  • A 1ª parcela pelo SAC ($P_{1, SAC}$) é A_{SAC} + J_{1, SAC} = 26.840 + 21.472 = R\ 48.312,00$.

• Cálculo da 1ª Parcela pelo SAM ($P_{1, SAM}$):

  • A 1ª parcela pelo SAM é a média aritmética da 1ª parcela da Tabela Price e da 1ª parcela do SAC.
  • $P_{1, SAM} = (P_{1, Price} + P_{1, SAC}) / 2$.
  • $P_{1, SAM} = (41.472 + 48.312) / 2$.
  • P_{1, SAM} = 89.784 / 2 = R\ 44.892,00$.

(A) Incorreta: Este valor (R$ 48.312,00) corresponde à 1ª parcela do Sistema de Amortizações Constantes (SAC), não do SAM. A armadilha aqui é confundir o SAM com o SAC, ou calcular corretamente a parcela do SAC e parar por aí.
(B) Incorreta: Este valor não corresponde a uma aplicação correta da metodologia do SAM ou de qualquer outro sistema de amortização padrão com os dados fornecidos.
(C) Incorreta: Este valor não corresponde a uma aplicação correta da metodologia do SAM ou de qualquer outro sistema de amortização padrão com os dados fornecidos.
(D) Correta: O valor de R$ 44.892,00 é obtido calculando-se o principal do empréstimo (R$ 107.360,00) a partir dos dados da Tabela Price, em seguida a 1ª parcela do SAC (R$ 48.312,00), e finalmente a média aritmética entre a 1ª parcela da Tabela Price (R$ 41.472,00) e a 1ª parcela do SAC.
(E) Incorreta: Este valor não corresponde a uma aplicação correta da metodologia do SAM ou de qualquer outro sistema de amortização padrão com os dados fornecidos.