Questão de Matemática Financeira · FGV AGENERSA 2023 (nº 77)

Juros Compostos é o cálculo de juros sobre o capital inicial somado aos juros já acumulados, ou seja, "juros sobre juros". Já a Capitalização Contínua é uma forma de juros compostos onde o cálculo e a incorporação dos juros ao capital acontecem infinitas vezes em um período, resultando no maior montante possível para uma dada taxa e tempo.

Para resolver, primeiro calculamos o montante (valor futuro) do primeiro empréstimo, que usa juros compostos mensais. Depois, usamos esse montante para encontrar o capital inicial (valor presente) do segundo empréstimo, que usa capitalização contínua, pois ambos serão quitados pelo mesmo valor.

1. Cálculo do Montante do Primeiro Empréstimo (Juros Compostos Mensais):

• Capital Inicial ($P_1$): R$ 45.000,00
• Taxa de Juros ($i$): 10% ao mês = 0,10
• Tempo ($n$): 8 meses
• Fórmula: $FV_1 = P_1 * (1 + i)^n$
• $FV_1 = 45.000 * (1 + 0,10)^8$
• $FV_1 = 45.000 * (1,1)^8$
• Usando a aproximação $1,1^8 = 2,14$:
• FV_1 = 45.000 * 2,14 = R\ 96.300,00$

2. Cálculo do Capital Inicial do Segundo Empréstimo (Capitalização Contínua):

• O montante do segundo empréstimo ($FV_2$) deve ser igual ao do primeiro: FV_2 = R\ 96.300,00$
• Taxa de Juros ($r$): 10% ao mês = 0,10
• Tempo ($t$): 8 meses
• Fórmula: $FV_2 = P_2 * e^{r*t}$
• $96.300 = P_2 * e^{(0,10 * 8)}$
• $96.300 = P_2 * e^{0,8}$
• Precisamos de $e^{0,8}$. A aproximação dada é $e^{0,4} = 1,50$.
• Podemos escrever $e^{0,8}$ como $e^{(2 * 0,4)} = (e^{0,4})^2$.
• Então, $e^{0,8} = (1,50)^2 = 2,25$.
• Substituindo na fórmula:
• $96.300 = P_2 * 2,25$
• $P_2 = 96.300 / 2,25$
• P_2 = R\ 42.800,00$

O valor do segundo empréstimo é R$ 42.800,00.

(A) Correta: O valor do segundo empréstimo é R$ 42.800,00, que é menor que R$ 42.900,00.
(B) Incorreta: O valor de R$ 42.800,00 não está entre R$ 42.900,00 e R$ 43.100,00.
(C) Incorreta: O valor de R$ 42.800,00 não está entre R$ 43.100,00 e R$ 43.300,00.
(D) Incorreta: O valor de R$ 42.800,00 não está entre R$ 43.300,00 e R$ 43.500,00.
(E) Incorreta: O valor de R$ 42.800,00 não é maior que R$ 45.000,00. A armadilha aqui seria pensar que, por ter capitalização contínua, o capital inicial deveria ser maior para atingir o mesmo montante, ou confundir o capital inicial com o montante final. Na verdade, para uma mesma taxa e tempo, a capitalização contínua gera um montante maior do que a capitalização composta discreta; portanto, para atingir o mesmo montante, o capital inicial sob capitalização contínua precisa ser menor.