Questão de Estatística · FCC SEFAZ-PE 2022 - Conhecimentos Gerais (P1) (nº 16)

As medidas de posição (ou tendência central) são valores que representam o centro de um conjunto de dados. A média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores. A mediana é o valor que divide os dados ordenados em duas metades iguais (se o número de dados for par, é a média dos dois valores centrais). A moda é o valor que aparece com maior frequência.

Para resolver a questão, primeiro precisamos encontrar os valores de m e n usando as informações fornecidas: o total de dias e a mediana.

1. Encontrando m e n:

   • Total de dias: A soma de todas as frequências (Qi) deve ser 200.
     $10 + 20 + 30 + m + n + 40 + 10 = 200$$110 + m + n = 200 \implies m + n = 90$ (Equação 1)
   • Mediana: Para 200 dias (número par), a mediana é a média entre a 100ª e a 101ª observação, após ordenar os dados. A questão afirma que a mediana é 3,5. Isso significa que a 100ª observação é 3 e a 101ª observação é 4.
     Vamos calcular as frequências acumuladas (CF):
     $CF_0 = 10$
     $CF_1 = 10 + 20 = 30$
     $CF_2 = 30 + 30 = 60$
     Para que a 100ª observação seja 3, a frequência acumulada até i=3 (CF_3) deve ser no mínimo 100. Ou seja, $CF_2 < 100 \le CF_3$.
     $60 < 100 \le 60 + m \implies m \ge 40$.
     Para que a 101ª observação seja 4, a frequência acumulada até i=3 (CF_3) deve ser menor que 101. Ou seja, $CF_3 < 101$.
     $60 + m < 101 \implies m < 41$.
     Como m deve ser um número inteiro (quantidade de dias), a única possibilidade é $m = 40$.
     Substituindo $m=40$ na Equação 1: $40 + n = 90 \implies n = 50$.
     Com $m=40$ e $n=50$, a mediana é de fato 3,5.

2. Calculando a Moda (com $m=40, n=50$):

   • As frequências (Qi) são: 10, 20, 30, 40, 50, 40, 10.
   • A maior frequência é 50, que corresponde a i=4.
   • Portanto, Moda = 4.

3. Calculando a Média Aritmética (com $m=40, n=50$):

   • Média = $\frac{\sum (i \times Qi)}{\sum Qi}$
   • $\sum (i \times Qi) = (0 \times 10) + (1 \times 20) + (2 \times 30) + (3 \times 40) + (4 \times 50) + (5 \times 40) + (6 \times 10)$
     $= 0 + 20 + 60 + 120 + 200 + 200 + 60 = 660$
   • Média = $\frac{660}{200} = 3.3$.

4. Calculando o Módulo da Diferença (com $m=40, n=50$):

   • $|Moda - Média| = |4 - 3.3| = |0.7| = 0.7$.

Análise da Inconsistência com o Gabarito Oficial:
O cálculo estatístico correto, usando todas as informações do enunciado, leva a um resultado de 0.7. No entanto, o gabarito oficial é 0.65. Isso indica uma inconsistência na questão. Para chegar ao gabarito 0.65, seria necessário que a média fosse 3.35 (se a moda for 4, que é o valor mais frequente para $n$ alto).
Se a Média fosse 3.35:
$\frac{340 + 3m + 4n}{200} = 3.35 \implies 340 + 3m + 4n = 670 \implies 3m + 4n = 330$.
Juntando com $m+n=90$, resolveríamos para $m=30$ e $n=60$.
Com $m=30$ e $n=60$:

• As frequências seriam: 10, 20, 30, 30, 60, 40, 10. A Moda seria 4 (frequência 60).
• A Média seria 3.35.
• A diferença seria $|4 - 3.35| = 0.65$.
  A armadilha da banca: No entanto, se $m=30$ e $n=60$, a mediana seria 4 (pois a 100ª e a 101ª observações seriam 4), o que contradiz a informação do enunciado de que a mediana é 3.5. Portanto, a questão possui dados inconsistentes. Para seguir o gabarito, é preciso ignorar a condição da mediana.

(A) Incorreta: O valor 0.35 não é obtido com os cálculos corretos, nem com a inconsistência que leva ao gabarito.
(B) Incorreta: O valor 0.50 não é obtido com os cálculos corretos, nem com a inconsistência que leva ao gabarito.
(C) Correta: Embora os dados da questão sejam inconsistentes (a mediana de 3.5 contradiz os valores de m e n que levariam a este resultado), se for assumido que m=30 e n=60 (ignorando a mediana), a moda seria 4 e a média seria 3.35, resultando em $|4 - 3.35| = 0.65$.
(D) Incorreta: O valor 0.30 não é obtido com os cálculos corretos, nem com a inconsistência que leva ao gabarito.
(E) Incorreta: O valor 0.40 não é obtido com os cálculos corretos, nem com a inconsistência que leva ao gabarito.