Questão de Estatística · FCC SEFAZ-PE 2022 - Conhecimentos Gerais (P1) (nº 19)

Um intervalo de confiança é um range de valores que provavelmente contém o verdadeiro valor de um parâmetro populacional (como a média), calculado a partir de dados de uma amostra, com um certo nível de confiança (a probabilidade de que o intervalo contenha o valor real).

Para resolver a questão, primeiro precisamos determinar o valor crítico $z_{\alpha/2}$ usando a primeira amostra. O intervalo de confiança para a média populacional $\mu$, com variância populacional $\sigma^2$ conhecida, é dado por $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Da primeira amostra:

• Tamanho da amostra ($n_1$) = 36
• Variância populacional ($\sigma^2$) = 2,25 $\Rightarrow$ Desvio padrão populacional ($\sigma$) = $\sqrt{2,25} = 1,5$
• Intervalo de confiança = [19,51 ; 20,49]

A média amostral ($\bar{x}_1$) é o ponto central do intervalo: $\bar{x}_1 = \frac{19,51 + 20,49}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
A margem de erro ($E_1$) é a metade da amplitude do intervalo: $E_1 = 20,49 - 20 = 0,49$.
Sabemos que $E_1 = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}$.
$0,49 = z_{\alpha/2} \frac{1,5}{\sqrt{36}}$
$0,49 = z_{\alpha/2} \frac{1,5}{6}$
$0,49 = z_{\alpha/2} \times 0,25$
$z_{\alpha/2} = \frac{0,49}{0,25} = 1,96$. Este é o valor crítico associado ao nível de confiança $(1-\alpha)$.

Agora, usamos este $z_{\alpha/2}$ para construir o intervalo de confiança para a segunda amostra:

• Tamanho da amostra ($n_2$) = 100
• Média amostral ($\bar{x}_2$) = 21
• Desvio padrão populacional ($\sigma$) = 1,5 (o mesmo da população)
• Valor crítico $z_{\alpha/2} = 1,96$

Calculamos a margem de erro ($E_2$) para a segunda amostra:
$E_2 = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n_2}}$
$E_2 = 1,96 \frac{1,5}{\sqrt{100}}$
$E_2 = 1,96 \frac{1,5}{10}$
$E_2 = 1,96 \times 0,15$
$E_2 = 0,294$.

O intervalo de confiança para a segunda amostra é $[\bar{x}_2 - E_2 ; \bar{x}_2 + E_2]$.
Limite inferior = $21 - 0,294 = 20,706. Limite superior = \21 + 0,294 = 21,294$.

A questão pede o limite superior do intervalo.

• (A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto do limite superior.
• (B) Incorreta: Esta alternativa é o distrator mais tentador. Ela seria obtida se o estudante usasse a margem de erro da primeira amostra (0,49) diretamente com a média da segunda amostra (21), ou seja, $21 + 0,49 = 21,49$. A armadilha da banca é que a **margem de erro** depende do tamanho da amostra; como a segunda amostra é maior ($n=100$vs$n=36$), a margem de erro deve ser menor, resultando em um intervalo mais estreito. É crucial recalcular a margem de erro para o novo tamanho de amostra.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto do limite superior.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto do limite superior.
• (E) Correta: O limite superior do intervalo de confiança para a média da segunda amostra é $21 + 0,294 = 21,294$, conforme os cálculos detalhados acima.