Questão de Matemática · FCC CBM-BA 2023 (nº 18)

Para calcular o volume de um sólido, medimos o espaço que ele ocupa. O volume de um cubo é a aresta elevada ao cubo ($L^3$), e o volume de uma pirâmide é um terço da área da base multiplicado pela altura ($\frac{1}{3} \times A_{base} \times h$).

Vamos definir as medidas:

• Seja $L$ o comprimento da aresta do cubo.
• Então, o volume do cubo é $V_{cubo} = L^3$.

Para a pirâmide quadrangular:

• O lado da base da pirâmide é igual ao comprimento da aresta do cubo, então $L_{base} = L$.
• A área da base da pirâmide é $A_{base} = L_{base}^2 = L^2$.
• A altura da pirâmide é o dobro do comprimento do lado de sua base, então $h = 2 \times L_{base} = 2L$.

Agora, calculamos o volume da pirâmide:

• $V_{pirâmide} = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$
• $V_{pirâmide} = \frac{1}{3} \times L^2 \times (2L)$
• $V_{pirâmide} = \frac{2L^3}{3}$

A razão entre o volume do cubo e o volume da pirâmide é $\frac{V_{cubo}}{V_{pirâmide}}$:

• Razão = $\frac{L^3}{\frac{2L^3}{3}}$
• Razão = $L^3 \times \frac{3}{2L^3}$
• Razão = $\frac{3}{2}$

(A) Incorreta: Esta alternativa seria correta se a altura da pirâmide fosse igual ao lado da base ($h=L$) e não o dobro. Nesse caso, $V_{pirâmide} = \frac{1}{3}L^2 \times L = \frac{L^3}{3}$, e a razão seria $\frac{L^3}{L^3/3} = 3$. Armadilha da banca: O erro aqui é não ler atentamente que a altura da pirâmide é "o dobro do comprimento do lado de sua base".
(B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos cálculos corretos. Um erro comum que levaria a 2 seria se o volume da pirâmide fosse $L^3/2$, o que não é o caso.
(C) Correta: A razão entre o volume do cubo ($L^3$) e o volume da pirâmide ($\frac{2L^3}{3}$) é $\frac{L^3}{2L^3/3} = \frac{3}{2}$.
(D) Incorreta: Esta alternativa seria correta se a questão pedisse a razão inversa, ou seja, o volume da pirâmide dividido pelo volume do cubo ($\frac{V_{pirâmide}}{V_{cubo}} = \frac{2L^3/3}{L^3} = \frac{2}{3}$).
(E) Incorreta: Esta alternativa não é resultado de nenhum cálculo comum ou erro esperado neste tipo de problema.