Questão de Análise de Dados · FGV TCU 2021 (nº 67)

Uma rede neural perceptron simples, como a descrita, usa uma fronteira de decisão linear para separar dados em diferentes classes. Essa fronteira é definida pela equação $w_1x_1 + w_2x_2 + w_0 = 0$, onde $w_i$ são os pesos e $w_0$ é o viés.

• Cálculo da Fronteira de Decisão:
  A saída da rede é $y = s(z)$, onde $z = w_1x_1 + w_2x_2 + w_0$.
  Para os valores dados: $w_1 = 2$, $w_2 = 3$, $w_0 = 1$.
  Assim, $z = 2x_1 + 3x_2 + 1$.
  A fronteira de decisão ocorre quando $z = 0$, ou seja, $2x_1 + 3x_2 + 1 = 0$.

• Encontrando os pontos na reta:

  1. Para $x_1 = 0$: $2(0) + 3x_2 + 1 = 0 \implies 3x_2 = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{3}$. Ponto: $(0, -\frac{1}{3})$.
  2. Para $x_2 = 0$: $2x_1 + 3(0) + 1 = 0 \implies 2x_1 = -1 \implies x_1 = -\frac{1}{2}$. Ponto: $(-\frac{1}{2}, 0)$.
     Os pontos são $(-\frac{1}{2}, 0)$ e $(0, -\frac{1}{3})$.

• Determinando a região de classificação:
  A função de ativação é $s(z) = +1$ se $z \geq 0$ e $s(z) = -1$ se $z < 0$.
  Portanto, a rede classifica como $+1$ quando $2x_1 + 3x_2 + 1 \geq 0$.
  Podemos reescrever a desigualdade como $3x_2 \geq -2x_1 - 1$, ou $x_2 \geq -\frac{2}{3}x_1 - \frac{1}{3}$.
  Isso significa que os pontos para os quais o valor de $x_2$ é maior ou igual ao valor de $x_2$ na reta (para um dado $x_1$) serão classificados como $+1$. Geometricamente, isso corresponde aos pontos acima da reta.
  Para confirmar, podemos testar um ponto, por exemplo, a origem $(0,0)$.
  $z = 2(0) + 3(0) + 1 = 1$. Como $1 \geq 0$, a origem é classificada como $+1$.
  A origem $(0,0)$ está acima da reta $2x_1 + 3x_2 + 1 = 0$ (pois $-1/3 < 0$). Logo, os pontos acima da reta são classificados como $+1$.

(A) Incorreta: Embora os pontos na reta estejam corretos, a classificação da região está invertida; os pontos acima da reta são classificados como +1, não -1. Esta é a armadilha da banca, pois é fácil calcular a reta corretamente e errar a interpretação da região de classificação.
(B) Incorreta: Os pontos apresentados não pertencem à reta de decisão. Houve um erro de sinal no cálculo dos interceptos.
(C) Correta: Os pontos $(x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = 0)$ e $(x_1 = 0, x_2 = -\frac{1}{3})$ estão corretamente calculados a partir da equação da fronteira de decisão $2x_1 + 3x_2 + 1 = 0$. Além disso, a análise da função de ativação $s(z) = +1$ para $z \geq 0$ (ou seja, $2x_1 + 3x_2 + 1 \geq 0$) mostra que os pontos acima da reta são classificados como +1.
(D) Incorreta: O segundo ponto $(x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{3})$ não pertence à reta de decisão; há um erro de sinal no cálculo do intercepto $x_2$.
(E) Incorreta: O primeiro ponto $(x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 0)$ não pertence à reta de decisão, e a classificação da região está invertida.