Questão de Matemática Financeira · FGV TCU 2021 (nº 20)

O Custo Efetivo Total (CET) é a taxa que representa o verdadeiro custo de um empréstimo ou financiamento, pois inclui não apenas os juros, mas também todas as taxas, impostos, seguros e outras despesas cobradas na operação. Ele permite comparar o custo real entre diferentes ofertas de crédito.

Para calcular o CET, precisamos identificar os fluxos de caixa da operação: o valor líquido recebido pelo tomador e os pagamentos que ele fará.

1. Valor Líquido Recebido (no ato):

   • Valor financiado (VF) = 1 unidade monetária (UM)
   • Taxa de Abertura de Crédito (TAC) = 5% sobre o VF = 0,05 * 1 = 0,05 UM
   • Valor Líquido Recebido (VLR) = VF - TAC = 1 - 0,05 = 0,95 UM
   • Este é o valor que o tomador efetivamente recebe, e é o "investimento" inicial do banco, ou o "valor presente" líquido para o tomador, portanto, é um fluxo de caixa de entrada para o tomador (+0,95) ou saída para o banco (-0,95). Para calcular o CET do tomador, ele "recebe" 0,95 e "paga" as parcelas.

2. Cálculo das Amortizações e Parcelas (Sistema SAC - Amortizações Constantes):
   O termo "amortizações mensais constantes" indica o Sistema de Amortização Constante (SAC), onde a parcela de amortização do principal é igual em todos os meses.

   • Amortização por mês = Valor financiado / Prazo = 1 UM / 2 meses = 0,5 UM.
   • Mês 1:
     • Juros = 5% sobre o saldo devedor inicial (1 UM) = 0,05 * 1 = 0,05 UM
     • Parcela 1 = Amortização + Juros = 0,5 + 0,05 = 0,55 UM
     • Saldo Devedor após a Parcela 1 = 1 - 0,5 = 0,5 UM
   • Mês 2:
     • Juros = 5% sobre o saldo devedor do mês anterior (0,5 UM) = 0,05 * 0,5 = 0,025 UM
     • Parcela 2 = Amortização + Juros = 0,5 + 0,025 = 0,525 UM
     • Saldo Devedor após a Parcela 2 = 0,5 - 0,5 = 0 UM

3. Cálculo do CET (Taxa Interna de Retorno - TIR):
   O CET é a taxa que iguala o valor presente dos pagamentos ao valor líquido recebido.
   $0,95 = \frac{0,55}{(1+CET)} + \frac{0,525}{(1+CET)^2}$
   Para facilitar, seja $x = (1+CET)$.
   $0,95 = \frac{0,55}{x} + \frac{0,525}{x^2}$
   Multiplicando toda a equação por $x^2$:
   $0,95x^2 = 0,55x + 0,525$
   Reorganizando para a forma de uma equação quadrática $ax^2 + bx + c = 0$:
   $0,95x^2 - 0,55x - 0,525 = 0$

   Usando a fórmula de Bhaskara: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
   $x = \frac{-(-0,55) \pm \sqrt{(-0,55)^2 - 4 \times 0,95 \times (-0,525)}}{2 \times 0,95}$
   $x = \frac{0,55 \pm \sqrt{0,3025 + 1,995}}{1,9}$
   $x = \frac{0,55 \pm \sqrt{2,2975}}{1,9}$

   Agora, utilizamos a aproximação fornecida: $(2,2975)^{0,5} = 1,52$.
   $x = \frac{0,55 \pm 1,52}{1,9}$
   Como a taxa deve ser positiva, escolhemos o sinal de soma:
   $x = \frac{0,55 + 1,52}{1,9} = \frac{2,07}{1,9} \approx 1,08947$

   Como $x = (1+CET)$:
   $1+CET \approx 1,08947$
   $CET \approx 1,08947 - 1 = 0,08947$
   $CET \approx 8,947\%$

   Arredondando, o CET mensal é aproximadamente 9%.

• (A) Correta: O cálculo do CET, considerando a taxa de abertura de crédito e o sistema de amortização SAC (amortizações constantes), resulta em aproximadamente 8,95%, que é arredondado para 9%.
• (B) Incorreta: 8% seria uma aproximação se houvesse algum erro de cálculo ou se o sistema de amortização fosse interpretado como Price (parcelas constantes), o que não se alinha com a aproximação fornecida.
• (C) Incorreta: 7% está muito abaixo do CET real, que deve incluir os juros e a taxa de abertura de crédito.
• (D) Incorreta: 6% está muito abaixo do CET real.
• (E) Incorreta: 5% é a taxa de juros nominal do empréstimo. Esta alternativa é um distrator tentador para quem não compreende o conceito de Custo Efetivo Total (CET). O CET é sempre maior que a taxa de juros nominal quando existem outras despesas (como a taxa de abertura de crédito) no financiamento, pois ele engloba todos esses custos adicionais.