Questão de Matemática Financeira · FGV TCU 2021 (nº 18)

O conceito-chave aqui é a equivalência de capitais, que significa que diferentes planos de pagamento são considerados iguais se seus Valores Presentes (o valor de todos os pagamentos trazidos para o momento atual, o "agora") forem os mesmos, usando uma taxa de juros comum. Também usamos o conceito de Renda Antecipada (ou Anuidade Antecipada), que é uma série de pagamentos iguais feitos no início de cada período. A fórmula do Valor Presente (PV) para uma renda antecipada é $PV = PMT \times \left[ \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \right] \times (1+i)$, onde $PMT$ é o valor da prestação, $i$ é a taxa de juros por período e $n$ é o número de períodos.

Primeiro, calculamos o Valor Presente do crédito original:

• Prestações mensais antecipadas: R$ 3.000,00
• Número de prestações: $n = 36$ meses
• Taxa de juros: $i = 3\%$ ao mês $= 0,03$
• Utilizamos a aproximação: $(1,03)^{-12} = 0,7$. Portanto, $(1,03)^{-36} = ((1,03)^{-12})^3 = (0,7)^3 = 0,343$.

$PV_{original} = 3000 \times \left[ \frac{1 - (1,03)^{-36}}{0,03} \right] \times (1,03)$
$PV_{original} = 3000 \times \left[ \frac{1 - 0,343}{0,03} \right] \times (1,03)$
$PV_{original} = 3000 \times \left[ \frac{0,657}{0,03} \right] \times (1,03)$
$PV_{original} = 3000 \times 21,9 \times 1,03$
$PV_{original} = 65700 \times 1,03$
PV_{original} = R\ 67.671,00$

Agora, calculamos o Valor Presente das partes da opção alternativa:

• i. Entrada: R$ 10.000,00. Este valor já está no presente (momento 0).
  PV_i = R\ 10.000,00$
• ii. 3 parcelas anuais antecipadas de R$ 5.000,00: A primeira é concomitante com a entrada (no momento 0). As outras duas serão no início do 2º e 3º ano, ou seja, nos meses 12 e 24.
  • $PV_{ii} = 5000 + 5000 \times (1,03)^{-12} + 5000 \times (1,03)^{-24}$
  • Sabemos $(1,03)^{-12} = 0,7$.
  • $(1,03)^{-24} = ((1,03)^{-12})^2 = (0,7)^2 = 0,49$.
  • $PV_{ii} = 5000 + 5000 \times 0,7 + 5000 \times 0,49$
  • $PV_{ii} = 5000 + 3500 + 2450$
  • PV_{ii} = R\ 10.950,00$
• iii. O restante financiado em 36 prestações mensais: O problema pede "o valor aproximado do montante a ser financiado mensalmente", que se refere ao Valor Presente (principal) dessa parte. Chamaremos de $PV_{iii}$.

Pelo princípio da equivalência de capitais, o Valor Presente total da opção alternativa deve ser igual ao Valor Presente do crédito original:
$PV_{original} = PV_i + PV_{ii} + PV_{iii}$
$67.671 = 10.000 + 10.950 + PV_{iii}$
$67.671 = 20.950 + PV_{iii}$
$PV_{iii} = 67.671 - 20.950$
PV_{iii} = R\ 46.721,00$

O valor aproximado é R$ 46.000,00.

(A) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo do montante a ser financiado na parte (iii) da alternativa.
(B) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo do montante a ser financiado na parte (iii) da alternativa.
(C) Correta: O valor de R$ 46.721,00, encontrado para o montante a ser financiado na parte (iii), é o mais próximo de R$ 46.000,00, confirmando a equivalência de capitais entre as duas opções de crédito.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo do montante a ser financiado na parte (iii) da alternativa.
(E) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo do montante a ser financiado na parte (iii) da alternativa. Uma armadilha comum seria confundir "o montante a ser financiado mensalmente" com o valor de cada prestação mensal da parte (iii). Se fosse a prestação, o valor seria muito menor (aproximadamente R$ 2.133,38), o que não está entre as alternativas. As alternativas indicam que a pergunta se refere ao principal (Valor Presente) da terceira parte.