Questão de Matemática Financeira · FGV TCU 2021 (nº 17)

O Sistema Americano de Amortização com Fundo de Amortização é um método de pagamento de empréstimos onde o devedor paga apenas os juros do capital emprestado periodicamente e, ao mesmo tempo, faz depósitos regulares em um fundo separado que acumulará o valor total do principal para quitá-lo de uma vez no final do período.

1. Cálculo dos Juros Anuais do Empréstimo:
   O valor do empréstimo é R$ 50.400,00 e a taxa de juros é de 10% ao ano.
   Juros anuais = 50.400 \times 0,10 = R\ 5.040,00$.

2. Cálculo do Depósito Anual no Fundo de Amortização:
   O fundo deve acumular R$ 50.400,00 em 5 anos, rendendo 5% ao ano. Usamos a fórmula do valor futuro de uma anuidade postecipada:
   $FV = PMT \times \frac{(1 + i_{fundo})^n - 1}{i_{fundo}}$
   Onde $FV = 50.400$, $i_{fundo} = 0,05$, $n = 5$.
   Sabemos que $(1,05)^5 = 1,28$.
   Então, $\frac{(1,05)^5 - 1}{0,05} = \frac{1,28 - 1}{0,05} = \frac{0,28}{0,05} = 5,6$.
   $50.400 = PMT \times 5,6$
   PMT = \frac{50.400}{5,6} = R\ 9.000,00$.

3. Cálculo do Pagamento Anual Total do Devedor:
   O devedor paga anualmente os juros do empréstimo mais o depósito no fundo.
   Pagamento Total Anual = Juros anuais + Depósito anual = 5.040 + 9.000 = R\ 14.040,00$.

4. Cálculo da Taxa Efetiva de Juros (i) Paga pelo Devedor:
   O devedor recebeu R$ 50.400,00 e faz pagamentos anuais de R$ 14.040,00 por 5 anos. Queremos encontrar a taxa de juros 'i' que iguala o valor presente desses pagamentos ao valor do empréstimo. Usamos a fórmula do valor presente de uma anuidade postecipada:
   $PV = PMT_{total} \times \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$
   $50.400 = 14.040 \times \frac{1 - (1 + i)^{-5}}{i}$
   $\frac{1 - (1 + i)^{-5}}{i} = \frac{50.400}{14.040} \approx 3,58974$.

5. Consulta à Tabela:
   Procuramos na tabela o valor de 'i' para $n=5$ que corresponde a aproximadamente 3,58974.

   • Para $i = 11\%$, o fator é 3,6959.
   • Para $i = 12\%$, o fator é 3,6048.
   • Para $i = 13\%$, o fator é 3,5172.
     Nosso valor (3,58974) está entre 3,6048 (para 12%) e 3,5172 (para 13%). Como o fator é inversamente proporcional à taxa de juros (quanto menor o fator, maior a taxa), a taxa 'i' deve ser maior que 12% e menor que 13%.

(A) Incorreta: A taxa efetiva calculada é significativamente maior que este intervalo.
(B) Incorreta: A taxa efetiva calculada é significativamente maior que este intervalo.
(C) Incorreta: Este é um distrator comum. A armadilha aqui é pensar que a taxa efetiva seria próxima à taxa de juros do empréstimo (10%). No entanto, como o fundo de amortização rende a uma taxa menor (5%) do que a taxa do empréstimo (10%), o custo efetivo para o devedor será maior que 10%, pois ele precisa depositar mais no fundo para compensar a menor rentabilidade.
(D) Incorreta: A taxa efetiva calculada é maior que 12%.
(E) Correta: A taxa efetiva de juros (i) está no intervalo $12\% \le i < 13\%$, pois o fator $\frac{1 - (1 + i)^{-5}}{i} \approx 3,58974$ está entre os fatores de 12% (3,6048) e 13% (3,5172) na tabela fornecida.