Questão de Matemática Financeira · FGV TCU 2021 (nº 16)

O juros composto é o cálculo de juros sobre juros, ou seja, os juros de cada período são adicionados ao capital para o cálculo dos juros do período seguinte. A amortização com parcelas progressivas é um sistema de pagamento de empréstimo onde o valor das parcelas aumenta a uma taxa constante a cada período.

Para resolver, primeiro calculamos o principal do empréstimo. O valor líquido de R$ 10.450,00 foi recebido após a dedução de 5% de tarifas. Isso significa que R$ 10.450,00 corresponde a 95% do valor total do empréstimo (o principal a ser amortizado).
Principal (PV) = R$ 10.450,00 / (1 - 0,05) = R$ 10.450,00 / 0,95 = R$ 11.000,00.

A taxa de juros mensal (i) é 48% ao ano / 12 meses = 4% ao mês = 0,04.
A taxa de crescimento das parcelas (g) é 2,7% ao mês = 0,027.
O número de parcelas (n) é 12 (um ano).

A fórmula para o Valor Presente (PV) de uma série de pagamentos que crescem em progressão geométrica é:
$PV = P_1 \times \frac{1 - (\frac{1+g}{1+i})^n}{i-g}$
Onde $P_1$ é o valor da primeira parcela.

Substituindo os valores:
$11.000 = P_1 \times \frac{1 - (\frac{1+0,027}{1+0,04})^{12}}{0,04-0,027}$
$11.000 = P_1 \times \frac{1 - (\frac{1,027}{1,04})^{12}}{0,013}$

Usando as aproximações fornecidas: $(1,027)^{12} = 1,4$ e $(1,04)^{12} = 1,6$.
$(\frac{1,027}{1,04})^{12} = \frac{(1,027)^{12}}{(1,04)^{12}} = \frac{1,4}{1,6} = \frac{7}{8} = 0,875$

Continuando a substituição:
$11.000 = P_1 \times \frac{1 - 0,875}{0,013}$
$11.000 = P_1 \times \frac{0,125}{0,013}$
$11.000 = P_1 \times 9,61538...$

$P_1 = \frac{11.000}{9,61538...}$
$P_1 \approx 1.144,00$

(A) Incorreta: Resultado de erro de cálculo ou uso de um principal incorreto.
(B) Correta: O valor de R$ 1.144,00 é obtido aplicando corretamente a fórmula de valor presente de uma série de pagamentos em progressão geométrica, após calcular o principal do empréstimo e usar as aproximações fornecidas.
(C) Incorreta: Resultado de erro de cálculo.
(D) Incorreta: Resultado de erro de cálculo.
(E) Incorreta: Esta é a alternativa mais tentadora para quem comete um erro significativo no cálculo do principal. Se o estudante, por exemplo, interpretasse que R$ 10.450,00 era apenas uma parte do principal, ou que o principal fosse o dobro do valor correto (R$ 22.000,00), o resultado seria próximo a R$ 2.288,00, que se aproxima de R$ 2.089,00. A armadilha da banca está na interpretação do valor líquido recebido e das tarifas.