Questão de Engenharia Civil · FGV TCE-TO 2022 (nº 56)

O Número de Fluxo (Flow Number) é o número de ciclos de carga em que a taxa de deformação permanente de uma mistura asfáltica atinge um valor mínimo. Em termos mais simples, é o ponto onde o material, após um endurecimento inicial, começa a se deformar rapidamente de novo sob carga. Matematicamente, isso corresponde ao ponto de inflexão na curva de deformação permanente, onde a segunda derivada da deformação permanente em relação ao número de ciclos é igual a zero.

Para encontrar o Número de Fluxo, precisamos calcular a primeira e a segunda derivada da equação de Francken:
\varepsilon_p = A N^B + C(e^{DN} - 1)\

1. Primeira derivada (taxa de deformação):
   \frac{d\varepsilon_p}{dN} = A B N^{B-1} + C D e^{DN}\

2. Segunda derivada:
   $\frac{d^2\varepsilon_p}{dN^2} = A B (B-1) N^{B-2} + C D^2 e^{DN}$

Agora, substituímos os valores das constantes: A = 500, B = 0.5, C = 1000, D = 0.01.
$\frac{d^2\varepsilon_p}{dN^2} = 500 \times 0.5 \times (0.5-1) N^{0.5-2} + 1000 \times (0.01)^2 e^{0.01N}$
$\frac{d^2\varepsilon_p}{dN^2} = 250 \times (-0.5) N^{-1.5} + 1000 \times 0.0001 e^{0.01N}$
$\frac{d^2\varepsilon_p}{dN^2} = -125 N^{-1.5} + 0.1 e^{0.01N}$

Para encontrar o Número de Fluxo, igualamos a segunda derivada a zero:
$-125 N^{-1.5} + 0.1 e^{0.01N} = 0$
$0.1 e^{0.01N} = 125 N^{-1.5}$

Agora, usamos a tabela auxiliar para verificar em qual intervalo essa igualdade é satisfeita (ou onde a expressão $-125 N^{-1.5} + 0.1 e^{0.01N}$ muda de sinal).

Vamos calcular os valores para os pontos da tabela:

Observamos que em N=50, a segunda derivada é negativa (-0.18863). Em N=100, a segunda derivada é positiva (0.14683). Como houve uma mudança de sinal entre N=50 e N=100, significa que o valor de N para o qual a segunda derivada é zero (o Número de Fluxo) está compreendido nesse intervalo.

(A) Incorreta: Em N=50, a segunda derivada é negativa, indicando que o ponto de mínimo da taxa de deformação ainda não foi atingido.
(B) Correta: A segunda derivada muda de sinal de negativo para positivo entre N=50 e N=100, o que significa que o Número de Fluxo (onde a segunda derivada é zero) está nesse intervalo.
(C) Incorreta: Em N=100 e N=150, a segunda derivada já é positiva, indicando que o ponto de mínimo da taxa de deformação já foi ultrapassado. A armadilha aqui seria não entender que o Flow Number é o ponto de inflexão (segunda derivada zero), e não apenas um valor mínimo na tabela.
(D) Incorreta: Em N=150 e N=200, a segunda derivada continua positiva, confirmando que o ponto de mínimo já passou.
(E) Incorreta: Em N=200 e N=250, a segunda derivada continua positiva, confirmando que o ponto de mínimo já passou.