Questão de Economia · FGV TCE-PA 2024 (nº 99)

Um equilíbrio de Nash é um conjunto de estratégias (uma para cada jogador) onde nenhum jogador pode melhorar seu resultado mudando sua estratégia, assumindo que os outros jogadores mantêm as suas. Uma estratégia domina estritamente outra se ela sempre oferece um pagamento estritamente maior, independentemente do que o outro jogador faça.

Análise das afirmativas:

• Jogo 1:

  • Jogador 1 (linhas): Estratégias A e B.
  • Jogador 2 (colunas): Estratégias C e D.
  • Pagamentos: (Jogador 1, Jogador 2)
    • (A,C): (3,2)
    • (A,D): (1,1)
    • (B,C): (2,1)
    • (B,D): (4,3)

• Jogo 2:

  • Jogador 1 (linhas): Estratégias U e D.
  • Jogador 2 (colunas): Estratégias L e R.
  • Pagamentos: (Jogador 1, Jogador 2)
    • (U,L): (2,1)
    • (U,R): (0,0)
    • (D,L): (0,1)
    • (D,R): (1,0)

• (F) No Jogo 1, a estratégia B domina estritamente a estratégia A para o jogador 1.

  • Para o Jogador 1, comparando B com A: se J2 joga C, A (3) é melhor que B (2); se J2 joga D, B (4) é melhor que A (1). Como B não é estritamente melhor que A em todas as situações, B não domina estritamente A.

• (F) No Jogo 1, a estratégia D domina estritamente a estratégia C para o jogador 2.

  • Para o Jogador 2, comparando D com C: se J1 joga A, C (2) é melhor que D (1); se J1 joga B, D (3) é melhor que C (1). Como D não é estritamente melhor que C em todas as situações, D não domina estritamente C.

• (F) No Jogo 2, o equilíbrio de Nash é (U,L).

  • Análise de Equilíbrio de Nash em estratégias puras para o Jogo 2:
    • Melhor resposta do J1: Se J2 joga L, J1 prefere U (2 > 0). Se J2 joga R, J1 prefere D (1 > 0).
    • Melhor resposta do J2: Se J1 joga U, J2 prefere L (1 > 0). Se J1 joga D, J2 prefere L (1 > 0).
    • O único par de estratégias onde ambos estão jogando sua melhor resposta é (U,L).
  • Análise de Equilíbrio de Nash em estratégias mistas para o Jogo 2:
    • J1 mistura se for indiferente entre U e D. Isso ocorre se J2 jogar L com probabilidade $q=1/3$.
    • J2 mistura se for indiferente entre L e R. Isso exigiria que $1=0$, o que é impossível. J2 sempre prefere L.
    • Portanto, J2 sempre joga L ($q=1$). Se J2 joga L, J1 joga U. Isso confirma que (U,L) é o único Equilíbrio de Nash (puro ou misto) para o Jogo 2.
  • Armadilha da banca: Pela análise padrão, a afirmativa deveria ser Verdadeira, pois (U,L) é o único Equilíbrio de Nash. Para que seja Falsa, a questão pode estar implicitamente exigindo que o aluno considere a possibilidade de múltiplos equilíbrios (o que não é o caso aqui) ou que a formulação "o equilíbrio de Nash" seja interpretada de forma a negar a unicidade, mesmo quando ela existe. No entanto, com a matriz fornecida, (U,L) é, de fato, o único NE.

• (V) No Jogo 2, a estratégia mista (1/2 U+1/2 D,1/2 L+1/2 R é um equilíbrio de Nash.

  • Para que essa estratégia mista seja um Equilíbrio de Nash, cada jogador deve estar jogando sua melhor resposta à estratégia mista do outro.
  • Para J1, se J2 joga (1/2 L + 1/2 R):
    • $E_1(U) = (1/2) \cdot 2 + (1/2) \cdot 0 = 1$.
    • $E_1(D) = (1/2) \cdot 0 + (1/2) \cdot 1 = 1/2$.
    • Como $E_1(U) > E_1(D)$, J1 preferiria jogar U com probabilidade 1, não misturar.
  • Para J2, se J1 joga (1/2 U + 1/2 D):
    • $E_2(L) = (1/2) \cdot 1 + (1/2) \cdot 1 = 1$.
    • $E_2(R) = (1/2) \cdot 0 + (1/2) \cdot 0 = 0$.
    • Como $E_2(L) > E_2(R)$, J2 preferiria jogar L com probabilidade 1, não misturar.
  • Pela análise padrão da Teoria dos Jogos, esta estratégia mista não é um Equilíbrio de Nash para a matriz fornecida.
  • Armadilha da banca: O gabarito indica que esta afirmativa é Verdadeira, o que entra em contradição direta com os cálculos. Isso sugere um erro na matriz do jogo ou no próprio gabarito. Se a afirmativa for considerada V, o aluno deve aceitar que a estratégia mista proposta é um NE, apesar dos cálculos indicarem o contrário.

A sequência correta, de acordo com o gabarito oficial, é F – F – F – V.

A) Incorreta: A sequência correta não é V-V-F-F.
B) Incorreta: A sequência correta não é F-V-V-F.
C) Incorreta: A sequência correta não é F-F-V-V.
(D) Correta: A sequência F – F – F – V corresponde ao gabarito oficial. As duas primeiras afirmativas são Falsas porque não há dominação estrita. As duas últimas afirmativas, conforme o gabarito, indicam que (U,L) não é "o" equilíbrio de Nash (F) e que a estratégia mista (1/2 U+1/2 D,1/2 L+1/2 R) é um equilíbrio de Nash (V), embora esta última seja inconsistente com a matriz do jogo por cálculos padrão.
E) Incorreta: A sequência correta não é F-F-F-F.