Questão de Matemática · FGV SME Jaboatão 2023 (nº 64)

Considere o seguinte problema de Análise Combinatória:

"Pretende-se formar um trio de pessoas escolhendo-se indivíduos de um grupo formado por $m$ mulheres e $h$ homens. Quantos trios distintos podem ser formados de modo que haja, ao menos, uma mulher?"

A seguir, são apresentadas 3 soluções.

Solução I:

• primeiro, escolha uma mulher: $m$ possibilidades;
• em seguida, escolha 2 pessoas entre as que restaram: $C_{m+h-1}^{2}$ possibilidades;
• resposta: $m \times C_{m+h-1}^{2}$.

Solução II:

• primeiro, calcule o número de trios sem qualquer restrição: $C_{m+h}^{3}$ possibilidades;
• em seguida, calcule o número de trios formados exclusivamente por homens: $C_{h}^{3}$ possibilidades;
• resposta: $C_{m+h}^{3} - C_{m}^{3}$.

Solução III:

• primeiro, calcule o número de trios com exatamente uma mulher: $C_{m}^{1} \times C_{h}^{2}$ possibilidades;
• em seguida, calcule o número de trios com exatamente duas mulheres: $C_{m}^{2} \times C_{h}^{1}$ possibilidades;
• por fim, calcule o número de trios formados exclusivamente por mulheres: $C_{m}^{3}$ possibilidades;
• resposta: $C_{m}^{1} \times C_{h}^{2} + C_{m}^{2} \times C_{h}^{1} + C_{m}^{3}$.

Entre as soluções apresentadas,