Questão de Estatística · FGV SEFAZ-BA 2022 (nº 32)

O estimador da média amostral, $\bar{X}$, é a média de uma amostra de dados. Queremos saber qual a média esperada e a variância desse estimador em relação aos parâmetros da população (média $\mu$ e variância $\sigma^2$). A média esperada nos diz se o estimador é não viciado (se acerta o valor real em média), e a variância nos diz o quão preciso ele é.

Para uma amostra aleatória simples $X_1, X_2, ..., X_n$ de uma população com média $\mu$ e variância $\sigma^2$, o estimador da média amostral é $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$.

A média de $\bar{X}$ é calculada como:
$E[\bar{X}] = E\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \frac{1}{n}E\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} E[X_i]$
Como $E[X_i] = \mu$ para cada $X_i$:
$E[\bar{X}] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \mu = \frac{1}{n}(n\mu) = \mu$.

A variância de $\bar{X}$ é calculada como:
$Var[\bar{X}] = Var\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \left(\frac{1}{n}\right)^2 Var\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right]$
Como os $X_i$ são independentes em uma amostra aleatória simples, $Var\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \sum_{i=1}^{n} Var[X_i]$.
Como $Var[X_i] = \sigma^2$ para cada $X_i$:
$Var[\bar{X}] = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 = \frac{1}{n^2}(n\sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n}$.

No problema, $n=4$.
Portanto, $E[\bar{X}] = \mu$ e $Var[\bar{X}] = \sigma^2/4$.

(A) Incorreta: A variância não é $\sigma^2/2$. O erro comum aqui seria dividir a variância populacional por um valor incorreto, talvez pensando em $n/2$ ou algum outro fator.
(B) Incorreta: A média de $\bar{X}$ não é $\mu/2$. A média do estimador $\bar{X}$ é $\mu$, não uma fração dela.
(C) Incorreta: A média de $\bar{X}$ não é $\mu/4$. A armadilha aqui é aplicar a divisão por $n$ (tamanho da amostra) de forma incorreta à média populacional, quando na verdade a média do estimador $\bar{X}$ é a própria média populacional $\mu$.
(D) Correta: A média de $\bar{X}$ é $\mu$ e a variância de $\bar{X}$ é $\sigma^2/4$. Isso está de acordo com as propriedades do estimador da média amostral para uma amostra de tamanho $n=4$.
(E) Incorreta: Tanto a média quanto a variância estão incorretas. A média não é $2\mu$ e a variância não é $\sigma^2$.