Questão de Estatística · FGV SEFAZ-BA 2022 (nº 31)

Um intervalo de confiança é uma estimativa de um intervalo de valores que provavelmente contém um parâmetro populacional desconhecido, como a média ($\mu$), com um certo nível de certeza (confiança). Ele é construído em torno da média amostral ($\bar{x}$), que é a melhor estimativa pontual que temos para a média populacional.

A fórmula geral para um intervalo de confiança para a média populacional ($\mu$) quando a variância populacional ($\sigma^2$) é conhecida e a população é normalmente distribuída (ou o tamanho da amostra é grande) é dada por:
$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
Onde $Z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado (para 95% de confiança, $Z_{\alpha/2} = 1.96$), $\sigma$ é o desvio padrão populacional e $\sqrt{n}$ é a raiz quadrada do tamanho da amostra. O termo $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ é conhecido como o erro padrão da média.

(A) Incorreta: O termo de erro é $1{,}96\sigma/n$. O erro padrão da média é $\sigma/\sqrt{n}$, não $\sigma/n$. A armadilha aqui é confundir o tamanho da amostra $n$ com a sua raiz quadrada $\sqrt{n}$ no denominador do erro padrão.
(B) Incorreta: O termo de erro é $1{,}96/\sqrt{n}$. Está faltando o desvio padrão populacional ($\sigma$) no numerador do erro padrão, o que implica que $\sigma=1$, o que não é uma suposição válida.
(C) Incorreta: O termo de erro é $1{,}96\sqrt{n}$. O desvio padrão ($\sigma$) está faltando e o $\sqrt{n}$ está multiplicando em vez de dividindo, o que é conceitualmente errado para o erro padrão.
(D) Incorreta: O termo de erro é $1{,}96\sigma^2/\sqrt{n}$. A fórmula usa o desvio padrão populacional ($\sigma$), não a variância populacional ($\sigma^2$).
(E) Correta: O intervalo é $\left(\bar{x} - 1{,}96\sigma/\sqrt{n} \; ; \; \bar{x} + 1{,}96\sigma/\sqrt{n}\right)$. Esta alternativa corresponde exatamente à fórmula padrão para o intervalo de confiança da média quando a variância populacional é conhecida, utilizando o valor crítico $Z=1.96$ para 95% de confiança e o erro padrão correto $\sigma/\sqrt{n}$.