Questão de Estatística · FGV SEFAZ-BA 2022 (nº 29)

Quando temos uma série de tentativas independentes (uma não afeta a outra, garantido pela "reposição"), onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa, estamos diante de uma distribuição binomial. A variável aleatória $X$ conta o número de sucessos nessas tentativas.

Para resolver, precisamos identificar:

1. Número de tentativas ($n$): São selecionadas 4 pessoas, então $n=4$.
2. Probabilidade de sucesso ($p$): Uma pessoa ter a doença. Há 10 pessoas com a doença em uma população de 20. Então, $p = \frac{10}{20} = 0,5$.
3. Probabilidade de fracasso ($q$): Uma pessoa não ter a doença. $q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5$.
4. Número de sucessos desejado ($k$): Queremos a probabilidade de $X$ ser igual a 2, então $k=2$.

A fórmula da probabilidade binomial é $P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^{(n-k)}$, onde $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ é o coeficiente binomial (número de combinações de $n$ elementos tomados $k$ a $k$).

Calculando:

• $C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.
• $p^k = (0,5)^2 = 0,25$.
• $q^{(n-k)} = (0,5)^{(4-2)} = (0,5)^2 = 0,25$.

Então, $P(X=2) = 6 * 0,25 * 0,25 = 6 * 0,0625 = 0,375$.

• (A) Correta: O cálculo da probabilidade binomial $P(X=2)$ resulta em $0,375$, que é a resposta exata.
• (B) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo da probabilidade binomial para os parâmetros dados.
• (C) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo da probabilidade binomial para os parâmetros dados.
• (D) Incorreta: Este valor ($0,5$) é a probabilidade de sucesso ($p$), mas não a probabilidade de ter exatamente 2 sucessos em 4 tentativas. (Armadilha da banca: Um erro comum para iniciantes é confundir a probabilidade de sucesso individual ($p$) com a probabilidade de um número específico de sucessos ($P(X=k)$), especialmente quando $p$ é um valor "redondo" como $0,5$. A probabilidade de$X=2$é uma combinação de$p$,$q$e o número de combinações$C(n,k)$.)
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo da probabilidade binomial para os parâmetros dados.