Questão de Engenharia Mecânica · FGV PCERJ 2021 (nº 69)

Para calcular a altura do centro de gravidade (CG) de um veículo, utilizamos o princípio do equilíbrio de momentos. O conceito-chave é que a soma dos momentos (força vezes distância perpendicular ao ponto de giro) em torno de qualquer ponto deve ser zero para que o veículo esteja em equilíbrio.

Primeiro, calculamos a posição longitudinal do CG ($x_g$) quando o veículo está em um plano horizontal.

1. Cálculo de $x_g$ (posição longitudinal do CG):
   • Peso total do veículo ($P_{total}$) = 1000 kgf.
   • No plano horizontal, os pesos nos eixos traseiro ($N_r$) e dianteiro ($N_f$) são iguais: $N_r = N_f = P_{total} / 2 = 1000 / 2 = 500$ kgf.
   • Distância entre eixos ($D$) = 2,0 m.
   • Tomando momentos em torno do ponto de contato do eixo dianteiro com o solo:
     $N_r \times D - P_{total} \times x_g = 0$
     $500 \text{ kgf} \times 2.0 \text{ m} - 1000 \text{ kgf} \times x_g = 0$
     $1000 - 1000 x_g = 0 \implies x_g = 1.0 \text{ m}$.
   • Portanto, o CG está a 1,0 m do eixo dianteiro.

Segundo, calculamos a altura do CG ($z_g$) quando o veículo está inclinado.
2. Cálculo de $z_g$ (altura do CG):
* Inclinação ($\theta$) = 45°.
* Peso no eixo traseiro na condição inclinada ($N_r'$) = 600 kgf.
* Tomamos momentos novamente em torno do ponto de contato do eixo dianteiro com o solo (ponto O).
* As forças são: a força normal $N_r'$ no eixo traseiro (perpendicular ao plano inclinado) e o peso total $P_{total}$ (vertical para baixo) agindo no CG.
* A equação de momento para esta configuração (dianteira mais baixa que a traseira, como na figura) é:
$N_r' \times D = P_{total} \times (x_g \cos\theta + z_g \sin\theta)$
* Substituindo os valores:
$600 \text{ kgf} \times 2.0 \text{ m} = 1000 \text{ kgf} \times (1.0 \text{ m} \times \cos(45^\circ) + z_g \times \sin(45^\circ))$
* Sabemos que $\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = 1/\sqrt{2} \approx 0.7071$.
$1200 = 1000 \times (1.0 \times 0.7071 + z_g \times 0.7071)$
$1200 = 707.1 \times (1.0 + z_g)$
$1.0 + z_g = 1200 / 707.1 \approx 1.697$
$z_g = 1.697 - 1.0 = 0.697 \text{ m}$.

A distância $z_g$ calculada com base nos princípios da dinâmica veicular e nos dados fornecidos é de aproximadamente 0,697 m. Este valor não corresponde a nenhuma das alternativas apresentadas. No entanto, seguindo a instrução de que o gabarito oficial é a letra B, precisamos analisar a situação. É possível que haja um erro nos dados do problema, no gabarito oficial, ou que uma fórmula simplificada (e possivelmente imprecisa) tenha sido utilizada pela banca.

Analisando as alternativas:

• (A) Incorreta: O valor de 0,40 m não é obtido por cálculos padrão. Se utilizássemos uma fórmula simplificada (e incorreta) $z_g = \frac{D (N_r' - N_r)}{P_{total} \tan\theta}$, o resultado seria $z_g = \frac{2.0 (600 - 500)}{1000 \times \tan(45^\circ)} = \frac{200}{1000 \times 1} = 0.20 \text{ m}$, que não é 0,40 m.
• (B) Correta: O gabarito oficial indica 0,45 m. Contudo, a aplicação rigorosa dos princípios da dinâmica veicular com os dados fornecidos resulta em $z_g \approx 0,697 \text{ m}$. Não há uma derivação padrão ou comumente aceita que leve a 0,45 m com os valores dados. Se o gabarito estiver correto, isso sugere um erro na formulação do problema ou nos dados fornecidos, ou a utilização de uma fórmula não-padrão/simplificada que não pode ser rigorosamente justificada. Para que $z_g$ fosse 0,45 m com a fórmula correta, os dados de entrada (como $N_r'$ ou $\theta$) teriam que ser diferentes.
• (C) Incorreta: O valor de 0,50 m não é obtido por cálculos padrão. Uma possível armadilha (que resultaria em um valor próximo) seria usar uma fórmula como $z_g = \frac{D}{2} \frac{(N_r' - N_f')}{P_{total} \tan\theta}$, onde $N_f' = P_{total} \cos\theta - N_r' = 1000 \times 0.7071 - 600 = 107.1 \text{ kgf}$. Isso daria $z_g = \frac{2.0}{2} \frac{(600 - 107.1)}{1000 \times 1} = \frac{492.9}{1000} = 0.4929 \text{ m}$, que é próximo de 0,50 m, mas essa fórmula não é a mais precisa para a altura do CG e não leva a 0,45 m.
• (D) Incorreta: O valor de 0,55 m não é obtido por cálculos padrão.
• (E) Incorreta: O valor de 0,60 m não é obtido por cálculos padrão.

A armadilha mais comum em problemas como este é o erro de sinal na equação de momento ou a confusão entre $\sin\theta$ e $\cos\theta$ nos termos dos braços de alavanca, ou a utilização de uma fórmula simplificada que não se aplica a ângulos grandes como 45°. No entanto, mesmo com essas armadilhas, não se chega a 0,45 m de forma consistente. O valor de 0,697 m é o resultado correto pela análise de equilíbrio.