Questão de Engenharia Mecânica · FGV PCAM 2021 (nº 60)

A frequência angular natural de vibração ($\omega_n$) é a frequência com que um sistema vibraria se não houvesse amortecimento (resistência ao movimento). No entanto, quando um sistema é amortecido (possui resistência ao movimento), ele vibra em uma frequência angular natural amortecida ($\omega_d$), que é ligeiramente menor que a frequência não amortecida. A questão, ao mencionar um sistema amortecido e pedir a "frequência angular natural de vibração desse sistema", refere-se à frequência amortecida.

• Cálculo da frequência angular natural não amortecida ($\omega_n$):
  $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{18 \text{ N/m}}{2 \text{ kg}}} = \sqrt{9} = 3 \text{ rad/s}$

• Cálculo do coeficiente de amortecimento crítico ($c_c$):
  $c_c = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{18 \text{ N/m} \times 2 \text{ kg}} = 2\sqrt{36} = 2 \times 6 = 12 \text{ Ns/m}$

• Cálculo da razão de amortecimento ($\zeta$):
  $\zeta = \frac{c}{c_c} = \frac{4 \text{ Ns/m}}{12 \text{ Ns/m}} = \frac{1}{3}$

• Cálculo da frequência angular natural amortecida ($\omega_d$):
  $\omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2} = 3 \text{ rad/s} \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = 3 \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = 3 \sqrt{\frac{8}{9}}$
  $\omega_d = 3 \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = 3 \frac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2} \text{ rad/s}$

(A) Incorreta: O valor de 2 rad/s não corresponde nem à frequência natural não amortecida ($\omega_n = 3 \text{ rad/s}$) nem à frequência natural amortecida ($\omega_d = 2\sqrt{2} \text{ rad/s}$).
(B) Correta: A frequência angular natural de vibração em um sistema amortecido é a frequência angular natural amortecida ($\omega_d$). Conforme os cálculos, $\omega_d = 2\sqrt{2} \text{ rad/s}$. A armadilha da banca é que, embora o termo "frequência angular natural" geralmente se refira à frequência não amortecida ($\omega_n$), em um sistema explicitamente amortecido, a pergunta pode se referir à frequência amortecida ($\omega_d$).
(C) Incorreta: O valor de $3\sqrt{2} \text{ rad/s}$ não é compatível com os parâmetros fornecidos para o sistema.
(D) Incorreta: O valor de $4\sqrt{2} \text{ rad/s}$ não é compatível com os parâmetros fornecidos para o sistema.
(E) Incorreta: O valor de $5\sqrt{2} \text{ rad/s}$ não é compatível com os parâmetros fornecidos para o sistema.