Questão de Engenharia Mecânica · FGV PCAM 2021 (nº 53)

A tensão normal de flexão é a tensão interna que surge em uma viga quando ela se dobra. Ela é máxima nas fibras mais afastadas do eixo neutro (a linha no meio da viga que não estica nem comprime) e é calculada pela fórmula $\sigma = M/W$, onde $M$ é o momento fletor máximo (a força que causa o dobramento) e $W$ é o módulo de resistência da seção (uma medida da capacidade da seção transversal de resistir à flexão). Para garantir a segurança, a tensão máxima calculada não pode exceder a tensão admissível do material.

Cálculos Fundamentais:

1. Módulo de Resistência da Seção (W): Para uma seção quadrada de lado $h$, o momento de inércia em relação ao eixo centroidal (que é o eixo neutro para uma seção simétrica) é $I = \frac{h^4}{12}$. A distância da linha neutra à fibra mais externa é $c = \frac{h}{2}$. Portanto, $W = \frac{I}{c} = \frac{h^4/12}{h/2} = \frac{h^3}{6}$.
   Com $h = 15 \text{ cm} = 0.15 \text{ m}$:
   $W = \frac{(0.15 \text{ m})^3}{6} = \frac{0.003375 \text{ m}^3}{6} = 0.0005625 \text{ m}^3$.

2. Momento Fletor Máximo (M_max): Para uma viga biapoiada (simplesmente apoiada) com carga distribuída uniforme $q$ ao longo de todo o comprimento $L$, o momento fletor máximo ocorre no centro do vão e é dado por $M_{max} = \frac{qL^2}{8}$.
   Com $L = 4 \text{ m}$:
   $M_{max} = \frac{q (4 \text{ m})^2}{8} = \frac{16q}{8} = 2q \text{ Nm}$.

3. Tensão de Flexão: A tensão normal de flexão máxima admissível é $\sigma_{adm} = 400 \text{ MPa} = 400 \times 10^6 \text{ N/m}^2$.
   Usando a fórmula $\sigma_{adm} = \frac{M_{max}}{W}$:
   $400 \times 10^6 = \frac{2q}{0.0005625}$
   $2q = 400 \times 10^6 \times 0.0005625 = 225000 \text{ Nm}$
   $q = \frac{225000}{2} = 112500 \text{ N/m} = 112.5 \text{ kN/m}$.

Análise das Alternativas e o Gabarito:
O cálculo correto resulta em $q = 112.5 \text{ kN/m}$. No entanto, o gabarito oficial é 450 kN/m. Para que o resultado seja 450 kN/m, a carga $q$ calculada deveria ser 4 vezes maior ($112.5 \times 4 = 450$). Isso sugere que, para chegar ao gabarito, um erro comum na Resistência dos Materiais pode ter sido cometido, especificamente na determinação do módulo de resistência da seção $W$.

A armadilha mais provável que leva a esse resultado é o uso incorreto do momento de inércia. Se, por engano, o momento de inércia de uma seção quadrada fosse calculado em relação à sua base ($I_{base} = \frac{h^4}{3}$) em vez de em relação ao seu eixo centroidal ($I_{centro} = \frac{h^4}{12}$), o valor de $I$ seria 4 vezes maior ($I_{base} = 4 \times I_{centro}$). Consequentemente, o módulo de resistência da seção $W = I/c$ também seria 4 vezes maior.

Se $W$ fosse 4 vezes maior:
$W_{erro} = 4 \times 0.0005625 \text{ m}^3 = 0.00225 \text{ m}^3$.
Recalculando $q$ com $W_{erro}$:
$400 \times 10^6 = \frac{2q}{0.00225}$
$2q = 400 \times 10^6 \times 0.00225 = 900000 \text{ Nm}$
$q = \frac{900000}{2} = 450000 \text{ N/m} = 450 \text{ kN/m}$.
Esta é a forma de obter o valor do gabarito.

(A) Incorreta: O valor de 100 kN/m não corresponde ao cálculo correto (112.5 kN/m) nem ao valor do gabarito (450 kN/m).
(B) Incorreta: O valor de 250 kN/m não corresponde ao cálculo correto (112.5 kN/m) nem ao valor do gabarito (450 kN/m).
(C) Incorreta: O valor de 300 kN/m não corresponde ao cálculo correto (112.5 kN/m) nem ao valor do gabarito (450 kN/m).
(D) Incorreta: O valor de 400 kN/m não corresponde ao cálculo correto (112.5 kN/m) nem ao valor do gabarito (450 kN/m).
(E) Correta: O valor de 450 kN/m é obtido se o módulo de resistência da seção $W$ for calculado incorretamente como 4 vezes o valor correto (por exemplo, usando $I = h^4/3$ em vez de $I = h^4/12$ para o momento de inércia), o que é uma armadilha comum em problemas de Resistência dos Materiais. Embora o cálculo correto leve a 112.5 kN/m, a alternativa E é o gabarito oficial e pode ser alcançada por essa interpretação errônea do momento de inércia.