Questão de Engenharia Mecânica · FGV PCAM 2021 (nº 55)

A tensão de von Mises é uma medida de tensão equivalente utilizada para prever a falha por escoamento em materiais dúcteis, calculada a partir das tensões normais e de cisalhamento atuantes em um ponto. Para um estado plano de tensões ($\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$), a fórmula é $\sigma_v = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x \sigma_y + 3\tau_{xy}^2}$.

Com os dados fornecidos na figura:
$\sigma_x = 600 \text{ MPa}$
$\sigma_y = -200 \text{ MPa}$ (tensão de compressão)
$\tau_{xy} = 300 \text{ MPa}$

Calculando a tensão de von Mises:
$\sigma_v = \sqrt{(600)^2 + (-200)^2 - (600)(-200) + 3(300)^2}$
$\sigma_v = \sqrt{360000 + 40000 - (-120000) + 3(90000)}$
$\sigma_v = \sqrt{360000 + 40000 + 120000 + 270000}$
$\sigma_v = \sqrt{790000} \approx 888,8 \text{ MPa}$

Este valor não corresponde a nenhuma das alternativas. No entanto, seguindo o gabarito oficial, a alternativa B é a correta. Isso sugere uma possível inconsistência nos dados do problema, nas alternativas ou no gabarito. Uma possível "pegadinha" pode ser a confusão com a tensão de cisalhamento máxima.

Calculando as tensões principais:
$\sigma_{avg} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{600 + (-200)}{2} = 200 \text{ MPa}$
$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{\left(\frac{600 - (-200)}{2}\right)^2 + 300^2} = \sqrt{(400)^2 + 300^2} = \sqrt{160000 + 90000} = \sqrt{250000} = 500 \text{ MPa}$
A tensão de cisalhamento máxima ($\tau_{max}$) é igual a $R$, ou seja, $500 \text{ MPa}$.

(A) Incorreta: 400 MPa não corresponde ao cálculo da tensão de von Mises nem a qualquer outra tensão principal ou de cisalhamento máxima para este estado.
(B) Correta: O cálculo da tensão de von Mises com os dados fornecidos resulta em aproximadamente 888,8 MPa. O gabarito oficial, 490 MPa, é numericamente próximo da tensão de cisalhamento máxima ($\tau_{max} = 500 \text{ MPa}$), que é um conceito distinto da tensão de von Mises, sugerindo uma possível pegadinha ou erro na questão.
(C) Incorreta: 564 MPa não corresponde ao cálculo da tensão de von Mises nem a qualquer outra tensão principal ou de cisalhamento máxima para este estado.
(D) Incorreta: 600 MPa é o valor de $\sigma_x$, mas não representa a tensão de von Mises, que combina todas as tensões.
(E) Incorreta: 692 MPa é próximo da tensão principal máxima ($\sigma_1 = \sigma_{avg} + R = 200 + 500 = 700 \text{ MPa}$), mas não é a tensão de von Mises.