Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MPRJ 2025 (nº 33)

Para que o valor de $N = \frac{64}{3x+1}$ seja um inteiro, o denominador $(3x+1)$ deve ser um divisor de 64. Além disso, a questão exige que $x$ também seja um inteiro.

Primeiro, listamos todos os divisores inteiros de 64 (positivos e negativos):
Divisores de 64: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$.

Em seguida, para cada divisor $D$, igualamos $3x+1$a$D$e resolvemos para$x$:$3x+1 = D \implies 3x = D-1 \implies x = \frac{D-1}{3}$. Para que$x$seja um inteiro,$(D-1)$deve ser um múltiplo de 3. Isso significa que$D$deve ter resto 1 quando dividido por 3 (ou seja,$D \equiv 1 \pmod 3$).

Vamos testar os divisores:

1. $D = 1 \implies D \equiv 1 \pmod 3 \implies x = (1-1)/3 = 0$. (Inteiro)
2. $D = 2 \implies D \equiv 2 \pmod 3 \implies x = (2-1)/3 = 1/3$. (Não inteiro)
3. $D = 4 \implies D \equiv 1 \pmod 3 \implies x = (4-1)/3 = 1$. (Inteiro)
4. $D = 8 \implies D \equiv 2 \pmod 3 \implies x = (8-1)/3 = 7/3$. (Não inteiro)
5. $D = 16 \implies D \equiv 1 \pmod 3 \implies x = (16-1)/3 = 5$. (Inteiro)
6. $D = 32 \implies D \equiv 2 \pmod 3 \implies x = (32-1)/3 = 31/3$. (Não inteiro)
7. $D = 64 \implies D \equiv 1 \pmod 3 \implies x = (64-1)/3 = 21$. (Inteiro)
8. $D = -1 \implies D \equiv 2 \pmod 3 \implies x = (-1-1)/3 = -2/3$. (Não inteiro)
9. $D = -2 \implies D \equiv 1 \pmod 3 \implies x = (-2-1)/3 = -1$. (Inteiro)
10. $D = -4 \implies D \equiv 2 \pmod 3 \implies x = (-4-1)/3 = -5/3$. (Não inteiro)
11. $D = -8 \implies D \equiv 1 \pmod 3 \implies x = (-8-1)/3 = -3$. (Inteiro)
12. $D = -16 \implies D \equiv 2 \pmod 3 \implies x = (-16-1)/3 = -17/3$. (Não inteiro)
13. $D = -32 \implies D \equiv 1 \pmod 3 \implies x = (-32-1)/3 = -11$. (Inteiro)
14. $D = -64 \implies D \equiv 2 \pmod 3 \implies x = (-64-1)/3 = -65/3$. (Não inteiro)

Os valores inteiros de $x$ para os quais $N$ é inteiro são: $0, 1, 5, 21, -1, -3, -11$.

A soma desses valores é:
$S = 0 + 1 + 5 + 21 + (-1) + (-3) + (-11)$
$S = (1 + 5 + 21) + (-1 - 3 - 11)$
$S = 27 + (-15)$
$S = 12$.

(A) Incorreta: A soma correta não é 18. Este valor pode resultar de erros de cálculo na soma final ou de exclusão incorreta de alguns valores de $x$.
(B) Incorreta: A soma correta não é 15. Uma armadilha comum seria somar apenas os valores absolutos dos $x$ negativos (ou seja, $|-1| + |-3| + |-11| = 15$) ou cometer um erro aritmético na soma dos valores negativos, como $(-1)+(-3)+(-11)=-12$, o que resultaria em $27-12=15$. **(C) Correta:** A soma dos valores inteiros de$x$é 12. Isso é obtido identificando corretamente todos os divisores de 64, aplicando a condição de que$D-1$deve ser divisível por 3 para que$x$seja inteiro, e somando todos os valores de$x encontrados (\0, 1, 5, 21, -1, -3, -11$).
(D) Incorreta: A soma correta não é 10. Este valor não corresponde a um erro comum ou parcial na resolução.
(E) Incorreta: A soma correta não é 9. Este valor não corresponde a um erro comum ou parcial na resolução.