Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MPRJ 2025 (nº 40)

O conceito-chave aqui é a contagem de combinações para determinar o número total de partidas e, em seguida, a montagem de um sistema de equações para relacionar a pontuação total com os diferentes tipos de resultados (vitória/derrota ou empate) em cada partida.

• 1. Calcular o número total de partidas:

  • Com 10 times e cada um jogando uma única partida com cada um dos outros, estamos diante de uma combinação de 10 elementos tomados 2 a 2.
  • $C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ partidas no total.

• 2. Entender a pontuação por partida:

  • Em uma partida com vencedor e perdedor: o vencedor ganha 3 pontos e o perdedor 0. O total de pontos distribuídos nessa partida é 3.
  • Em uma partida que termina em empate: cada time ganha 1 ponto. O total de pontos distribuídos nessa partida é 1 + 1 = 2.

• 3. Montar o sistema de equações:

  • Seja $E$ o número de partidas empatadas.
  • Seja $V$ o número de partidas com vencedor/perdedor.
  • Equação 1 (Total de partidas): $E + V = 45$
  • Equação 2 (Total de pontos): A soma dos pontos ganhos por todos os times foi 122.
    • Pontos dos empates: $2E$ (2 pontos por empate)
    • Pontos das vitórias/derrotas: $3V$ (3 pontos por partida com vencedor)
    • Então: $2E + 3V = 122$

• 4. Resolver o sistema de equações:

  • Da Equação 1, podemos isolar $V$: $V = 45 - E$.
  • Substitua $V$ na Equação 2:
    $2E + 3(45 - E) = 122 \2E + 135 - 3E = 122 \135 - E = 122$$E = 135 - 122$$E = 13$

• 5. Verificação:

  • Se $E = 13$, então $V = 45 - 13 = 32$.
  • Total de pontos: $(2 \times 13) + (3 \times 32) = 26 + 96 = 122$. Confere com o total dado.

• (A) Incorreta: O cálculo correto não leva a este valor.

• (B) Incorreta: Este valor seria obtido se houvesse um pequeno erro aritmético na subtração final ($135 - 122 = 12 em vez de \13$), uma armadilha comum em provas.

• (C) Correta: Conforme demonstrado nos passos acima, o número de partidas empatadas é 13, resultado da correta aplicação da análise combinatória e da resolução do sistema de equações.

• (D) Incorreta: O cálculo correto não leva a este valor. Assim como a alternativa B, um erro de cálculo de $135 - 122 = 14$ levaria a este resultado.

• (E) Incorreta: O cálculo correto não leva a este valor.