Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MPRJ 2025 (nº 39)

O conceito-chave aqui é a Permutação Circular, que é a forma de organizar objetos em um círculo. Para evitar contar a mesma disposição várias vezes devido à rotação, fixamos a posição de um objeto e permutamos os restantes. As cadeiras iguais reforçam que o que importa é a posição relativa entre as pessoas e as cadeiras vazias, e não a cadeira específica.

• Pessoas: Pai (P), Mãe (M), Filho 1 (F1), Filho 2 (F2) - total de 4 pessoas.
• Cadeiras: 6 cadeiras em uma mesa circular.
• Cadeiras vazias: Como 4 cadeiras serão ocupadas, 2 cadeiras permanecerão vazias.
• Restrição: Pai e Mãe não devem se sentar em cadeiras vizinhas.

Para resolver, usaremos a estratégia de calcular o total de arranjos possíveis e subtrair os arranjos onde a restrição é violada (Pai e Mãe vizinhos).

1. Calcular o número total de maneiras de as 4 pessoas se sentarem nas 6 cadeiras (com 2 vazias), sem a restrição de vizinhança:

• Para lidar com a permutação circular e cadeiras iguais, fixamos a posição de uma pessoa, por exemplo, o Pai. Isso remove a simetria rotacional, e as 5 cadeiras restantes tornam-se distintas em relação ao Pai.
• Agora, precisamos escolher 3 cadeiras entre as 5 restantes para a Mãe e os dois filhos. O número de maneiras de fazer isso é $C(5,3) = \frac{5!}{3!2!} = 10$.
• Depois de escolher as 3 cadeiras, arranjamos a Mãe e os dois filhos (3 pessoas) nessas 3 cadeiras. O número de maneiras de fazer isso é $3! = 6$.
• Portanto, o número total de arranjos distintos (sem considerar a restrição de vizinhança entre Pai e Mãe) é $1 \times C(5,3) \times 3! = 1 \times 10 \times 6 = 60$.

2. Calcular o número de maneiras em que o Pai e a Mãe se sentam em cadeiras vizinhas:

• Novamente, fixamos a posição do Pai.
• Para que a Mãe seja vizinha do Pai, ela deve sentar-se em uma das duas cadeiras adjacentes ao Pai (à direita ou à esquerda).
  • Cenário A: Mãe senta-se à direita do Pai. (1 maneira relativa ao Pai). Agora, Pai e Mãe estão fixos em cadeiras adjacentes. Restam 4 cadeiras e 2 filhos (F1, F2) para serem sentados.
    • Escolha 2 cadeiras entre as 4 restantes para os filhos: $C(4,2) = \frac{4!}{2!2!} = 6$.
    • Arrume os 2 filhos nessas 2 cadeiras: $2! = 2$.
    • Número de arranjos para este cenário = $1 \times 6 \times 2 = 12$.
  • Cenário B: Mãe senta-se à esquerda do Pai. (1 maneira relativa ao Pai). Similarmente ao Cenário A, isso também resultará em 12 arranjos.
• Portanto, o número total de arranjos onde Pai e Mãe são vizinhos é $12 + 12 = 24$.

3. Calcular o número de maneiras em que o Pai e a Mãe NÃO se sentam em cadeiras vizinhas:

• Este é o número total de arranjos (Passo 1) menos o número de arranjos onde Pai e Mãe são vizinhos (Passo 2).

• Número de maneiras = $60 - 24 = 36$.

• (A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da situação.

• (B) Incorreta: Este valor (24) representa o número de maneiras em que o Pai e a Mãe são vizinhos, que é a condição a ser excluída. É um distrator comum em problemas de "não vizinhos".

• (C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da situação.

• (D) Correta: O cálculo detalhado (Total de arranjos - Arranjos com Pai e Mãe vizinhos = $60 - 24 = 36$) leva a este resultado.

• (E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da situação.