Questão de Engenharia Mecânica · FGV DPE-RS 2023 (nº 60)

A equação de Bernoulli é um princípio fundamental da mecânica dos fluidos que descreve a conservação da energia para um fluido ideal (incompressível, sem atrito e em regime permanente) ao longo de uma linha de corrente. Ela relaciona a pressão, a velocidade e a altura do fluido em dois pontos distintos.

Para resolver o problema, aplicamos a equação de Bernoulli entre a superfície livre da água no reservatório (ponto 1) e a saída da tubulação (ponto 2).
A equação de Bernoulli é: $\frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2$

Dados:

• Massa específica da água ($\rho$) = $1000 \text{ kg/m}^3$
• Aceleração da gravidade ($g$) = $10 \text{ m/s}^2$
• Pressão do gás no reservatório ($P_1$) = $0.25 \text{ MPa} = 250000 \text{ Pa}$
• Pressão atmosférica ($P_2$) = $0.1 \text{ MPa} = 100000 \text{ Pa}$

Pontos de referência:

• Ponto 1 (Superfície da água):
  • $P_1 = 250000 \text{ Pa}$
  • $v_1 \approx 0$ (velocidade da superfície da água é desprezível devido ao grande diâmetro do reservatório).
  • $z_1$: Altura da superfície da água em relação ao ponto de saída da válvula. A água está a 6 m do chão e a válvula a 1 m do chão, então $z_1 = 6 \text{ m} - 1 \text{ m} = 5 \text{ m}$.
• Ponto 2 (Saída da tubulação):
  • $P_2 = 100000 \text{ Pa}$ (pressão atmosférica).
  • $v_2$ = ? (velocidade de saída que queremos encontrar).
  • $z_2 = 0$ (tomando a saída da válvula como nosso nível de referência).

Substituindo na equação de Bernoulli:
$\frac{250000}{1000 \cdot 10} + \frac{0^2}{2g} + 5 = \frac{100000}{1000 \cdot 10} + \frac{v_2^2}{2 \cdot 10} + 0$
$25 + 0 + 5 = 10 + \frac{v_2^2}{20}$
$30 = 10 + \frac{v_2^2}{20}$
$20 = \frac{v_2^2}{20}$
$v_2^2 = 400$
$v_2 = \sqrt{400}$
$v_2 = 20 \text{ m/s}$

(A) Correta: A velocidade de saída calculada é de 20 m/s, conforme a aplicação correta da equação de Bernoulli considerando a pressão do gás e a altura da coluna de água acima da válvula.
(B) Incorreta: Este valor seria obtido se a altura da coluna de água considerada fosse a altura total do reservatório (12 m) em vez da altura real da água (6 m) acima da válvula. A armadilha aqui é confundir a altura total do reservatório com a altura do nível da água. Se usássemos $z_1 = 12 \text{ m} - 1 \text{ m} = 11 \text{ m}$, teríamos $v_2 = \sqrt{20 \cdot (15 + 11)} = \sqrt{520} \approx 22.8 \text{ m/s}$, que arredonda para 23 m/s.
(C) Incorreta: Este valor não corresponde a um erro comum de cálculo ou interpretação dos dados do problema.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde a um erro comum de cálculo ou interpretação dos dados do problema.
(E) Incorreta: Este valor não corresponde a um erro comum de cálculo ou interpretação dos dados do problema.