Questão de Engenharia Mecânica · FGV DPE-RS 2023 (nº 44)

A transferência de calor por condução em geometrias cilíndricas, como tubos, é calculada usando uma fórmula que considera a área de superfície variável ao longo do caminho do calor. O conceito-chave é que a resistência térmica de cada camada (aço e isolamento) se soma em série, e essa resistência para um cilindro envolve o logaritmo natural da razão entre os raios externo e interno de cada camada. A perda de calor por metro (Q/L) é a taxa de calor que atravessa o tubo por unidade de comprimento.

Primeiro, calculamos os raios:

• Diâmetro externo do tubo de aço = 40 cm = 0,4 m. Isso significa que o raio externo do aço (e interno do isolamento) é $r_2 = 0,4 / 2 = 0,2$ m.
• Espessura do aço = 5 cm = 0,05 m. Então, o raio interno do aço é $r_1 = r_2 - 0,05 = 0,2 - 0,05 = 0,15$ m.
• Espessura do isolamento = 4 cm = 0,04 m. Então, o raio externo do isolamento é $r_3 = r_2 + 0,04 = 0,2 + 0,04 = 0,24$ m.

A fórmula para a perda de calor por metro em um cilindro composto é:
$Q/L = \frac{2 \pi (T_{int} - T_{ext})}{\frac{\ln(r_2/r_1)}{k_{aço}} + \frac{\ln(r_3/r_2)}{k_{iso}}}$

Agora, calculamos os termos logarítmicos usando os dados fornecidos:

• Para o aço: $\ln(r_2/r_1) = \ln(0,20/0,15) = \ln(4/3) = \ln(4) - \ln(3) = 2\ln(2) - \ln(3) = 2(0,7) - 1,1 = 1,4 - 1,1 = 0,3$.
• Para o isolamento: $\ln(r_3/r_2) = \ln(0,24/0,20) = \ln(6/5) = \ln(6) - \ln(5) = (\ln(2) + \ln(3)) - \ln(5) = (0,7 + 1,1) - 1,6 = 1,8 - 1,6 = 0,2$.

Em seguida, calculamos as resistências térmicas por unidade de comprimento (excluindo $2\pi$):

• Resistência do aço: $R'_{aço} = \frac{0,3}{20 \text{ W/m°C}} = 0,015 \text{ m°C/W}$.
• Resistência do isolamento: $R'_{iso} = \frac{0,2}{0,2 \text{ W/m°C}} = 1,0 \text{ m°C/W}$.

A resistência térmica total por unidade de comprimento é a soma das resistências:
$R'_{total} = R'_{aço} + R'_{iso} = 0,015 + 1,0 = 1,015 \text{ m°C/W}$.

A diferença de temperatura é $\Delta T = T_{int} - T_{ext} = 287°C - 84°C = 203°C$.

Finalmente, calculamos a perda de calor por metro, usando $\pi = 3$:
$Q/L = \frac{2 \times 3 \times 203}{1,015} = \frac{6 \times 203}{1,015} = \frac{1218}{1,015} \approx 1199,99 \text{ W/m}$.
Arredondando, obtemos 1200 W/m.

• (A) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto da perda de calor.
• (B) Correta: O cálculo detalhado das resistências térmicas em série para as camadas cilíndricas de aço e isolamento, utilizando os raios corretos e os valores logarítmicos fornecidos, resulta em aproximadamente 1200 W/m. A interpretação correta de "40 cm de diâmetro externo" como o diâmetro externo do tubo de aço (e não do conjunto total) é crucial, e os valores de $\ln$ fornecidos são uma pista para verificar se os raios foram definidos corretamente, pois as razões dos raios devem ser simplificáveis em termos de 2, 3 e 5.
• (C) Incorreta: Este valor não é obtido por um cálculo correto ou por um erro comum e direto que leve a uma das alternativas.
• (D) Incorreta: Este valor não é obtido por um cálculo correto ou por um erro comum e direto que leve a uma das alternativas.
• (E) Incorreta: Este valor não é obtido por um cálculo correto ou por um erro comum e direto que leve a uma das alternativas.