Questão de Engenharia Civil · FGV CGE-SP 2025 (nº 71)

Para calcular a cota (altitude) de um ponto B a partir de um ponto A em um levantamento planialtimétrico, precisamos considerar a cota do ponto A, a altura do instrumento, a leitura na mira e a diferença de nível vertical entre a linha de visada e o ponto observado. A diferença de nível vertical é calculada usando a distância horizontal e o ângulo vertical (ou ângulo zenital).

1. Dados fornecidos:

   • Cota do Ponto A ($C_A$): 241,30 m
   • Altura do Instrumento ($HI$): 1,50 m
   • Distância Horizontal ($DH$): 30 m
   • Ângulo Zenital ($Z$): 60°
   • Leitura na Mira ($Lm$): 1,20 m
   • Tabela trigonométrica: \tan(30^\circ) = 0,577\

2. Cálculo do Ângulo Vertical ($V$):
   O ângulo vertical é o complemento do ângulo zenital:
   $V = 90^\circ - Z$
   V = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\

3. Cálculo da Diferença de Nível Vertical ($\Delta h$):
   A diferença de nível vertical entre a linha de visada horizontal do instrumento e o ponto onde a visada atinge a vertical do ponto B é dada por:
   $\Delta h = DH \times \tan(V)$
   $\Delta h = 30 \text{ m} \times \tan(30^\circ)$
   Usando o valor da tabela:
   $\Delta h = 30 \text{ m} \times 0,577 = 17,31 \text{ m}$
   Como o ângulo zenital ($60^\circ$) é menor que $90^\circ$, a visada é ascendente, então $\Delta h$ é positivo.

4. Cálculo da Cota do Ponto B ($C_B$):
   A fórmula geral para a cota do ponto B é:
   $C_B = C_A + HI + \Delta h - Lm$
   $C_B = 241,30 \text{ m} + 1,50 \text{ m} + 17,31 \text{ m} - 1,20 \text{ m}$
   $C_B = 242,80 \text{ m} + 17,31 \text{ m} - 1,20 \text{ m}$
   $C_B = 260,11 \text{ m} - 1,20 \text{ m}$
   $C_B = 258,91 \text{ m}$

O valor calculado de 258,91 m é aproximadamente 259,00 m.

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se, por engano, fosse utilizada a função cosseno do ângulo zenital para calcular a diferença de nível vertical ($\Delta h = DH \times \cos(60^\circ) = 30 \times 0,500 = 15 \text{ m}$), resultando em $241,30 + 1,50 + 15 - 1,20 = 256,60 \text{ m}$. Armadilha da banca: Uso incorreto da função trigonométrica (cosseno em vez de tangente do ângulo vertical ou cotangente do ângulo zenital).
• (B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
• (C) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se a altura do instrumento (HI) fosse esquecida no cálculo ($C_B = C_A + \Delta h - Lm = 241,30 + 17,31 - 1,20 = 257,41 \text{ m}$).
• (D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
• (E) Correta: O cálculo resulta em 258,91 m, que, arredondado para a casa decimal mais próxima ou considerando a aproximação solicitada, corresponde a 259,00 m.