Questão de Engenharia Civil · FGV CGE-SP 2025 (nº 64)

O empuxo ativo é a força horizontal que o solo exerce sobre um muro de arrimo quando este se afasta ligeiramente do solo. A Teoria de Rankine calcula essa força assumindo que o solo está em um estado de ruptura incipiente e que o muro é vertical e liso, com o aterro horizontal.

Para calcular o empuxo ativo total ($E_a$), somamos o empuxo devido ao peso próprio do solo ($E_{a,solo}$) e o empuxo devido à sobrecarga uniforme ($E_{a,sobr}$).

1. Calcular o Coeficiente de Empuxo Ativo ($K_a$):
   Para solo não coesivo ($c=0$) e aterro horizontal, a fórmula de Rankine é:
   $K_a = \tan^2(45^\circ - \frac{\phi}{2})$
   K_a = \tan^2(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}) = \tan^2(45^\circ - 15^\circ) = \tan^2(30^\circ) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}\

2. Calcular o Empuxo Ativo devido ao Solo ($E_{a,solo}$):
   A pressão horizontal devido ao solo varia linearmente com a profundidade, formando um diagrama triangular. A pressão máxima na base é $\sigma_{ah,solo} = K_a \cdot \gamma \cdot H$.
   $E_{a,solo} = \frac{1}{2} \cdot \sigma_{ah,solo} \cdot H = \frac{1}{2} \cdot (K_a \cdot \gamma \cdot H) \cdot H = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2$
   $E_{a,solo} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 18 \text{ kN/m}^3 \cdot (5.0 \text{ m})^2$
   E_{a,solo} = \frac{1}{6} \cdot 18 \cdot 25 = 3 \cdot 25 = 75 \text{ kN/m}\

3. Calcular o Empuxo Ativo devido à Sobrecarga ($E_{a,sobr}$):
   A sobrecarga uniforme ($q$) gera uma pressão horizontal uniforme em toda a altura do muro, formando um diagrama retangular. A pressão horizontal devido à sobrecarga é $\sigma_{ah,sobr} = K_a \cdot q$.
   $E_{a,sobr} = \sigma_{ah,sobr} \cdot H = (K_a \cdot q) \cdot H$
   $E_{a,sobr} = \frac{1}{3} \cdot 12 \text{ kPa} \cdot 5.0 \text{ m}$
   E_{a,sobr} = 4 \cdot 5 = 20 \text{ kN/m}\

4. Calcular o Empuxo Ativo Total ($E_a$):
   $E_a = E_{a,solo} + E_{a,sobr}$
   $E_a = 75 \text{ kN/m} + 20 \text{ kN/m} = 95 \text{ kN/m}$

(A) Correta: O cálculo detalhado acima demonstra que o empuxo ativo total é de 95 kN/m, somando o empuxo devido ao peso próprio do solo (75 kN/m) e o empuxo devido à sobrecarga (20 kN/m), ambos calculados com o coeficiente de empuxo ativo $K_a = 1/3$.
(B) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto.
(C) Incorreta: Este é um distrator tentador. Um erro comum é esquecer de aplicar o coeficiente $K_a$ à sobrecarga, resultando em um empuxo de sobrecarga de $q \cdot H = 12 \cdot 5 = 60$ kN/m. Somando ao empuxo do solo (75 kN/m), o total seria $75 + 60 = 135$kN/m. Embora 125 kN/m não seja exatamente 135 kN/m, ele está na faixa de valores que surgem de erros na consideração da sobrecarga ou de um$K_a$ ligeiramente incorreto.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto.
(E) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto.