Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT7 2024 (nº 17)

Para contar números com condições específicas, precisamos identificar as restrições para cada algarismo e listar sistematicamente as possibilidades.

Os números estão entre 99 e 1000, o que significa que são números de 3 algarismos. Vamos representá-los como $ABC$, onde $A$ é o algarismo das centenas, $B$ o das dezenas e $C$ o das unidades.
As condições são:

1. Todos os algarismos sejam distintos: $A \neq B$, $A \neq C$, $B \neq C$.
2. O algarismo da unidade é igual à soma dos outros dois algarismos: $C = A + B$.

Vamos analisar as restrições para cada algarismo:

• Algarismo $A$ (centenas): Não pode ser zero, então $A \in \{1, 2, ..., 9\}$.
• Algarismo $B$ (dezenas): $B \in \{0, 1, ..., 9\}$.
• Algarismo $C$ (unidades): $C \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Agora, vamos aplicar as condições:

1. $C = A + B$:
   • Como $C$ é um algarismo, seu valor máximo é 9. Logo, $A + B \le 9$.
   • Como $A \ge 1$ e $B \ge 0$, $C = A + B \ge 1$.
2. Algarismos distintos:
   • $A \neq C \Rightarrow A \neq A + B \Rightarrow B \neq 0$. Isso significa que o algarismo $B$ não pode ser zero. Portanto, $B \in \{1, 2, ..., 9\}$.
   • $B \neq C \Rightarrow B \neq A + B \Rightarrow A \neq 0$. Esta condição já é satisfeita, pois $A$ é o algarismo das centenas.
   • $A \neq B$.

Resumindo, procuramos pares de algarismos $(A, B)$ que satisfaçam:

• $A \in \{1, 2, ..., 9\}$
• $B \in \{1, 2, ..., 9\}$
• $A \neq B$
• $A + B \le 9$

Vamos listar sistematicamente os pares $(A, B)$ e o consequente $C = A+B$:

• Para $A=1$: $B$ deve ser diferente de 1 e $1+B \le 9 \Rightarrow B \le 8$.
  • $B \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. (7 números: 123, 134, 145, 156, 167, 178, 189)
• Para $A=2$: $B$ deve ser diferente de 2 e $2+B \le 9 \Rightarrow B \le 7$.
  • $B \in \{1, 3, 4, 5, 6, 7\}$. (6 números: 213, 235, 246, 257, 268, 279)
• Para $A=3$: $B$ deve ser diferente de 3 e $3+B \le 9 \Rightarrow B \le 6$.
  • $B \in \{1, 2, 4, 5, 6\}$. (5 números: 314, 325, 347, 358, 369)
• Para $A=4$: $B$ deve ser diferente de 4 e $4+B \le 9 \Rightarrow B \le 5$.
  • $B \in \{1, 2, 3, 5\}$. (4 números: 415, 426, 437, 459)
• Para $A=5$: $B$ deve ser diferente de 5 e $5+B \le 9 \Rightarrow B \le 4$.
  • $B \in \{1, 2, 3, 4\}$. (4 números: 516, 527, 538, 549)
• Para $A=6$: $B$ deve ser diferente de 6 e $6+B \le 9 \Rightarrow B \le 3$.
  • $B \in \{1, 2, 3\}$. (3 números: 617, 628, 639)
• Para $A=7$: $B$ deve ser diferente de 7 e $7+B \le 9 \Rightarrow B \le 2$.
  • $B \in \{1, 2\}$. (2 números: 718, 729)
• Para $A=8$: $B$ deve ser diferente de 8 e $8+B \le 9 \Rightarrow B \le 1$.
  • $B \in \{1\}$. (1 número: 819)
• Para $A=9$: $B$ deve ser diferente de 9 e $9+B \le 9 \Rightarrow B \le 0$.
  • Como $B \ge 1$, não há valores possíveis para $B$. (0 números)

Somando o total de números encontrados: $7 + 6 + 5 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 32$.

(A) Incorreta: O valor 8 é muito pequeno e não corresponde ao cálculo sistemático de todas as possibilidades.
(B) Incorreta: O valor 16 é muito pequeno e não corresponde ao cálculo sistemático de todas as possibilidades.
(C) Correta: O cálculo sistemático das possibilidades, considerando todas as restrições (algarismos distintos, soma dos algarismos das centenas e dezenas igual ao das unidades, e limites para os algarismos), resulta em 32 números.
(D) Incorreta: O valor 6 é muito pequeno e não corresponde ao cálculo sistemático de todas as possibilidades.
(E) Incorreta: O valor 48 é muito grande. Um erro comum que levaria a um número maior seria esquecer a condição $A \neq B$ em alguns casos ou permitir $B=0$ (o que implicaria $A=C$, violando a distinção dos algarismos). Por exemplo, se ignorarmos $A \neq B$, teríamos 36 números (8+7+6+5+4+3+2+1). Se ignorarmos $B \neq 0$ (que implica $A \neq C$), teríamos 41 números (8+7+6+5+5+4+3+2+1, incluindo 101, 202, etc.).