Questão de Raciocínio Lógico · FCC TRT19 2022 (nº 11)

Para encontrar o menor valor possível para a soma, devemos tentar usar os menores algarismos disponíveis para as posições mais significativas (centenas), depois para as dezenas e, por fim, para as unidades, sempre respeitando as condições de que todos os seis algarismos são distintos e D = 2C.

1. Analisar a condição D = 2C:

   • D e C são algarismos (0-9).
   • D é o algarismo das centenas de DEF, então D não pode ser 0.
   • Se C = 1, D = 2.
   • Se C = 2, D = 4.
   • Se C = 3, D = 6.
   • Se C = 4, D = 8.
   • Se C = 5, D = 10 (não é um algarismo).
     Portanto, temos 4 pares possíveis para (C, D).

2. Minimizar a soma ABC + DEF:
   A soma é $100A + 10B + C + 100D + 10E + F = 100(A+D) + 10(B+E) + (C+F)$. Para minimizar a soma, devemos minimizar$A+D$, depois$B+E$, e por último$C+F$. A e D também não podem ser 0.

   Vamos testar os pares (C, D) e escolher os menores algarismos restantes para A, B, E e F:

   • Caso 1: C = 1, D = 2

     • Algarismos usados: {1, 2}.
     • Para A (centenas de ABC), o menor algarismo disponível (não 0, não 1, não 2) é A = 3.
     • Soma das centenas: A + D = 3 + 2 = 5.
     • Algarismos usados: {1, 2, 3}.
     • Para B e E (dezenas), os menores algarismos disponíveis (não 0, 1, 2, 3) são 0 e 4. Podemos usar B = 0 e E = 4 (ou vice-versa).
     • Soma das dezenas: B + E = 0 + 4 = 4.
     • Algarismos usados: {0, 1, 2, 3, 4}.
     • Para F (unidades de DEF), o menor algarismo disponível (não 0, 1, 2, 3, 4) é F = 5.
     • Soma das unidades: C + F = 1 + 5 = 6.
     • Números: ABC = 301, DEF = 245.
     • Soma total: $100(5) + 10(4) + 6 = 500 + 40 + 6 = 546$.

   • Caso 2: C = 2, D = 4

     • Algarismos usados: {2, 4}.
     • Para A (centenas de ABC), o menor algarismo disponível (não 0, não 2, não 4) é A = 1.
     • Soma das centenas: A + D = 1 + 4 = 5.
     • Algarismos usados: {1, 2, 4}.
     • Para B e E (dezenas), os menores algarismos disponíveis (não 0, 1, 2, 4) são 0 e 3. Podemos usar B = 0 e E = 3.
     • Soma das dezenas: B + E = 0 + 3 = 3.
     • Algarismos usados: {0, 1, 2, 3, 4}.
     • Para F (unidades de DEF), o menor algarismo disponível (não 0, 1, 2, 3, 4) é F = 5.
     • Soma das unidades: C + F = 2 + 5 = 7.
     • Números: ABC = 102, DEF = 435.
     • Soma total: $100(5) + 10(3) + 7 = 500 + 30 + 7 = 537$.

   • Caso 3: C = 3, D = 6

     • Algarismos usados: {3, 6}.
     • Para A, o menor algarismo disponível é A = 1.
     • Soma das centenas: A + D = 1 + 6 = 7.
     • Como a soma das centenas (7) já é maior que 5 (dos casos anteriores), qualquer soma resultante deste caso será maior que 537 e 546. Não precisamos continuar.

   Comparando as somas encontradas (546 e 537), o menor valor possível é 537.

(A) Incorreta: 597 é um valor possível, mas não o menor. Por exemplo, ABC=103, DEF=494 (mas 4 se repete, então não pode). Se ABC=103, D=2C => C=3, D=6. DEF=694. Soma = 103+694 = 797.
(B) Correta: O menor valor é 537, obtido com ABC = 102 e DEF = 435. Os algarismos são {1, 0, 2, 4, 3, 5}, todos distintos. D (4) é o dobro de C (2).
(C) Incorreta: 546 é um valor possível, mas não o menor. Foi obtido no Caso 1 (ABC = 301, DEF = 245). A armadilha aqui é que, ao escolher C=1 e D=2, o menor A disponível é 3, resultando em uma soma de centenas (3+2=5) igual à do caso C=2, D=4 (1+4=5), mas a soma das dezenas (0+4=4) é maior do que no caso correto (0+3=3), levando a um resultado maior.
(D) Incorreta: 301 é um número, não a soma. A soma deve ser de dois números de três algarismos, então o mínimo seria 100+100=200, mas com algarismos distintos e a condição D=2C, o mínimo é maior.
(E) Incorreta: 447 não é um valor possível com as restrições dadas. A soma mínima das centenas (A+D) é 5 (por exemplo, A=1, D=4 ou A=3, D=2), então a soma total já seria no mínimo 500.