Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT18 2022 (nº 24)

A média aritmética de um conjunto de números é a soma desses números dividida pela quantidade de números que há no conjunto.

• Cálculo:
  Os números são $(x + 1)^2$ e $(x - 1)^2$.
  A média aritmética é $\frac{(x + 1)^2 + (x - 1)^2}{2}$.
  Sabemos que essa média é igual a 10.
  $\frac{(x + 1)^2 + (x - 1)^2}{2} = 10$

  Primeiro, vamos expandir os termos:
  $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$
  $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$

  Agora, substituímos na equação da média:
  $\frac{(x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1)}{2} = 10$

  Somamos os termos no numerador:
  $\frac{x^2 + x^2 + 2x - 2x + 1 + 1}{2} = 10$
  $\frac{2x^2 + 2}{2} = 10$

  Dividimos o numerador por 2:
  $x^2 + 1 = 10$

  Subtraímos 1 de ambos os lados:
  $x^2 = 10 - 1$
  $x^2 = 9$

  Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
  $x = \pm\sqrt{9}$
  $x = \pm 3$

  O problema afirma que "x é um número positivo". Portanto, $x = 3$.

• Análise das alternativas:

(A) Correta: O valor de x é 3, conforme calculado. Se $x=3$, a média de $(3+1)^2=4^2=16$ e $(3-1)^2=2^2=4$ é $\frac{16+4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

(B) Incorreta: Se $x=5$, a média de $(5+1)^2=6^2=36$ e $(5-1)^2=4^2=16$ é $\frac{36+16}{2} = \frac{52}{2} = 26$, que não é 10.

(C) Incorreta: Se $x=2$, a média de $(2+1)^2=3^2=9$ e $(2-1)^2=1^2=1$ é $\frac{9+1}{2} = \frac{10}{2} = 5$, que não é 10. Armadilha da banca: Esta alternativa seria correta se o aluno esquecesse de dividir por 2 na fórmula da média aritmética, ou seja, se ele apenas igualasse a soma dos termos a 10: $(x+1)^2 + (x-1)^2 = 10 \Rightarrow 2x^2+2 = 10 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x=2$ (considerando x positivo).

(D) Incorreta: Se $x=6$, a média de $(6+1)^2=7^2=49$ e $(6-1)^2=5^2=25$ é $\frac{49+25}{2} = \frac{74}{2} = 37$, que não é 10.

(E) Incorreta: Se $x=4$, a média de $(4+1)^2=5^2=25$ e $(4-1)^2=3^2=9$ é $\frac{25+9}{2} = \frac{34}{2} = 17$, que não é 10.