Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FCC TRF3 2024 (nº 13)

Este problema exige a montagem de um sistema de equações (igualdades) e inequações (desigualdades) para representar as condições dadas, e então encontrar a solução inteira que satisfaz todas as restrições e maximiza a variável desejada.

• (A) Incorreta: Se $S_2=7$, precisaríamos de $S_1 < 7$ e $S_3 > 7$, com $S_1+S_3=15$. Por exemplo, $(S_1, S_2, S_3) = (4, 7, 11)$ satisfaz $4<7<11, \4+7+11=22$, mas$S_3 < S_1+S_2 \implies 11 < 4+7 \implies 11 < 11$é falso. Outro exemplo:$(S_1, S_2, S_3) = (6, 7, 9) satisfaz \6<7<9, \6+7+9=22$, e$S_3 < S_1+S_2 \implies 9 < 6+7 \implies 9 < 13$é verdadeiro. Então$S_2=7$ é possível, mas não é o valor máximo.

• (B) Incorreta: Se $S_2=11$, a condição $S_2 < S_3$ implicaria $S_3 \ge 12$. A soma $S_1+S_2+S_3=22$ já seria $S_1+11+S_3=22 \implies S_1+S_3=11$. Com $S_3 \ge 12$, não há valor positivo para $S_1$. Além disso, a condição $S_2 < 10.5$ já exclui $S_2=11$.

• (C) Correta: Seja $S_1, S_2, S_3$ o número de carros fabricados nas semanas 1, 2 e 3, respectivamente.

  1. S_1 + S_2 + S_3 = 22\
  2. $S_1 < S_2 < S_3$ (e $S_1, S_2, S_3$ são inteiros positivos)
  3. $S_3 < S_1 + S_2$

  Da condição (1), $S_3 = 22 - S_1 - S_2$. Substituindo em (3):
  $22 - S_1 - S_2 < S_1 + S_2 \implies 22 < 2S_1 + 2S_2 \implies 11 < S_1 + S_2$.

  Da condição (2), $S_1 \le S_2 - 1$ (já que são inteiros). Substituindo na desigualdade anterior:
  $11 < S_1 + S_2 \le (S_2 - 1) + S_2 \implies 11 < 2S_2 - 1 \implies 12 < 2S_2 \implies 6 < S_2$.
  Assim, $S_2$ deve ser no mínimo 7.

  Novamente da condição (2), $S_2 < S_3$. Substituindo $S_3 = 22 - S_1 - S_2$:
  $S_2 < 22 - S_1 - S_2 \implies 2S_2 < 22 - S_1$.
  Para maximizar $S_2$, $S_1$ deve ser o menor possível. Como $S_1 < S_2$ e $S_1$ é inteiro positivo, o menor valor possível para $S_1$ é 1.
  $2S_2 < 22 - 1 \implies 2S_2 < 21 \implies S_2 < 10.5$.
  Assim, $S_2$ pode ser no máximo 10.

  Combinando, $6 < S_2 \le 10$. Os valores possíveis para $S_2$ são 7, 8, 9, 10.
  Para encontrar o valor máximo, testamos de cima para baixo:

  • Se $S_2 = 10$:
    • $S_1 < 10$ e $S_3 > 10$.
    • $S_1 + 10 + S_3 = 22 \implies S_1 + S_3 = 12$.
    • A única combinação de inteiros que satisfaz $S_1 < 10$, $S_3 > 10$ e $S_1+S_3=12$ é $S_1=1$ e $S_3=11$.
    • Verificando a condição (3): $S_3 < S_1 + S_2 \implies 11 < 1 + 10 \implies 11 < 11$. Esta afirmação é falsa. Portanto, $S_2=10$ não é possível.
  • Se $S_2 = 9$:
    • $S_1 < 9$ e $S_3 > 9$.
    • $S_1 + 9 + S_3 = 22 \implies S_1 + S_3 = 13$.
    • Uma combinação de inteiros que satisfaz $S_1 < 9$, $S_3 > 9$ e $S_1+S_3=13$ é $S_1=3$ e $S_3=10$. (Outras seriam $S_1=2, S_3=11$ ou $S_1=1, S_3=12$, mas $S_1=3$ é suficiente para mostrar que é possível).
    • Verificando a condição (3) para $(3, 9, 10)$: $S_3 < S_1 + S_2 \implies 10 < 3 + 9 \implies 10 < 12$. Esta afirmação é verdadeira.
      Como $S_2=10$ não é possível e $S_2=9$ é possível, o valor máximo de automóveis na segunda semana é 9.

• (D) Incorreta: Se $S_2=8$, precisaríamos de $S_1 < 8$ e $S_3 > 8$, com $S_1+S_3=14$. Por exemplo, $(S_1, S_2, S_3) = (5, 8, 9)$ satisfaz $5<8<9, \5+8+9=22$, e$S_3 < S_1+S_2 \implies 9 < 5+8 \implies 9 < 13$é verdadeiro. Então$S_2=8$ é possível, mas não é o valor máximo.

• (E) Incorreta: Esta é a alternativa mais tentadora. Como demonstrado na explicação da alternativa (C), $S_2=10$ é o maior valor inteiro que satisfaz as desigualdades $6 < S_2 \le 10.5$. No entanto, ao testar as condições com $S_2=10$, descobrimos que a terceira condição ($S_3 < S_1 + S_2$) não é satisfeita. Para $S_2=10$, a única combinação possível é $(S_1, S_2, S_3) = (1, 10, 11)$, e $11 < 1+10$ é falso. A armadilha da banca é justamente levar o aluno a parar nas desigualdades iniciais e não testar todas as condições com os valores encontrados.