Questão de Estatística · FCC PMSP AMCI 2025 - Prova 1 (nº 71)

A Distribuição Binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas (n), cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), a probabilidade de sucesso (p) é a mesma em cada tentativa, e as tentativas são independentes.

Neste problema:

• População: 10 funcionários (6 homens, 4 mulheres).
• Sucesso: Ser homem. A probabilidade de sucesso é $p = \frac{\text{Número de homens}}{\text{Total de funcionários}} = \frac{6}{10} = 0.6$.
• Fracasso: Ser mulher. A probabilidade de fracasso é $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$.
• Número de tentativas (n): Amostra de 3 funcionários. Então, $n = 3$.
• Variável aleatória (X): Número de homens na amostra.
• Objetivo: Calcular $P(X = 1)$, a probabilidade de ter exatamente 1 homem na amostra de 3.

A fórmula da Distribuição Binomial é $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
Para $P(X=1)$, temos $n=3$, $k=1$, $p=0.6$ e $q=0.4$:
$P(X=1) = \binom{3}{1} (0.6)^1 (0.4)^{3-1}$
$P(X=1) = \binom{3}{1} (0.6)^1 (0.4)^2$

Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
$\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(1) \times (2 \times 1)} = 3$

Agora, calculamos as potências:
$(0.6)^1 = 0.6$
$(0.4)^2 = 0.16$

Por fim, multiplicamos tudo:
$P(X=1) = 3 \times 0.6 \times 0.16$
$P(X=1) = 1.8 \times 0.16$
$P(X=1) = 0.288$

Convertendo para porcentagem:
$0.288 \times 100\% = 28.8\%$

(A) Incorreta: O valor 25,6% não corresponde ao cálculo correto da probabilidade binomial para $X=1$.
(B) Incorreta: O valor 36,0% seria $0.6^2$, que não representa a probabilidade de $X=1$ na distribuição binomial com $n=3$.
(C) Incorreta: O valor 25,0% não está relacionado aos parâmetros do problema.
(D) Incorreta: O valor 24,0% ($0.24$) seria o resultado de$p \times q = 0.6 \times 0.4$. **Armadilha da banca:** Este é um distrator comum para quem esquece de considerar o coeficiente binomial$\binom{n}{k}$e a potência correta de$q$(ou$p$) para$n$tentativas, ou seja, calcula a probabilidade de um sucesso e um fracasso para$n=2$em vez de$n=3$. **(E) Correta:** A probabilidade de$X=1$é$28.8%$, conforme calculado pela fórmula da distribuição binomial.