Questão de Raciocínio Lógico e Matemática · FCC PM-AP 2025 (nº 28)

O conceito-chave aqui é razão e proporção. Uma razão é uma comparação entre duas quantidades (por exemplo, livros em inglês para livros em espanhol, 16 para 11), e uma proporção é a igualdade entre duas razões. Para resolver, usamos variáveis para representar as quantidades desconhecidas e montamos equações com base nas razões e totais fornecidos.

Passo a passo para a solução:

1. Estado Inicial:

   • A razão de livros em inglês ($I_0$) para livros em espanhol ($E_0$) é de 16 para 11.
   • Podemos representar isso como $I_0 = 16k$ e $E_0 = 11k$, onde $k$ é uma constante de proporcionalidade.

2. Estado Final (após a encomenda):

   • Foram encomendados mais 99 livros em inglês e $x$ livros em espanhol.
   • O novo número de livros em inglês ($I_f$) será $I_0 + 99 = 16k + 99$.
   • O novo número de livros em espanhol ($E_f$) será $E_0 + x = 11k + x$.
   • A nova razão $I_f$ para $E_f$ é de 7 para 8.
   • O total de livros nesses dois idiomas na biblioteca é 795.

3. Calculando os livros no estado final:

   • Como a razão final é 7 para 8, o total de livros pode ser dividido em $7+8=15$ partes.
   • Cada parte vale $795 \div 15 = 53$.
   • Então, $I_f = 7 \times 53 = 371$ livros em inglês.
   • E $E_f = 8 \times 53 = 424$ livros em espanhol.
   • Verificação: $371 + 424 = 795$.

4. Encontrando a constante inicial ($k$):

   • Sabemos que $I_f = I_0 + 99$.
   • $371 = 16k + 99$.
   • $16k = 371 - 99$.
   • $16k = 272$.
   • $k = 272 \div 16 = 17$.

5. Calculando os livros em espanhol no estado inicial ($E_0$):

   • $E_0 = 11k = 11 \times 17 = 187$ livros em espanhol.

6. Calculando o número de livros em espanhol encomendados ($x$):

   • Sabemos que $E_f = E_0 + x$.
   • $424 = 187 + x$.
   • $x = 424 - 187$.
   • $x = 237$.

Portanto, o número de livros em espanhol que o bibliotecário encomendou foi 237.

(A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao valor calculado seguindo as proporções e o total de livros. Um erro comum pode ser uma falha na etapa final de subtração ou uma interpretação equivocada de uma das razões.
(B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao valor calculado. Pode ser resultado de um erro de cálculo em qualquer uma das etapas, como na determinação da constante de proporcionalidade $k$ ou $m$.
(C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao valor calculado. Assim como as outras incorretas, provavelmente deriva de um erro aritmético ou de uma aplicação incorreta das razões.
(D) Correta: O número de livros em espanhol encomendados foi 237. A solução envolveu a criação de um sistema de equações baseado nas razões iniciais e finais, e no total de livros após a encomenda. Primeiro, determinamos o número final de livros em cada idioma usando a razão final e o total. Em seguida, usamos o número final de livros em inglês e o acréscimo para encontrar o número inicial de livros em inglês. Com o número inicial de livros em inglês, calculamos a constante de proporcionalidade inicial ($k$) e, a partir dela, o número inicial de livros em espanhol. Finalmente, subtraímos o número inicial de livros em espanhol do número final para encontrar a quantidade encomendada.
(E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao valor calculado. Armadilha da banca: Alternativas numericamente próximas à correta (como 231, 234, 240, 243) são frequentemente usadas para testar a precisão dos cálculos do aluno. Um pequeno erro de subtração na etapa final ($424 - 187) poderia levar a um desses valores, por exemplo, se o aluno calculasse \424 - 184 = 240 ou \424 - 190 = 234$. A pegadinha aqui é a necessidade de cuidado extremo nos cálculos aritméticos após a montagem correta do problema.