Questão de Raciocínio Lógico e Matemática · FCC PM-AP 2025 (nº 27)

Para resolver problemas de conjuntos como este, usamos diagramas de Venn para visualizar as relações entre grupos de elementos. Cada círculo no diagrama representa um conjunto (neste caso, oficiais que levaram livros de uma disciplina específica), e as áreas de sobreposição (interseções) mostram quantos elementos pertencem a mais de um conjunto.

Vamos definir os conjuntos:

• $P$: Oficiais que levaram livro de Primeiros Socorros.
• $M$: Oficiais que levaram livro de Materiais Inflamáveis.
• $T$: Oficiais que levaram livro de Técnicas e Regras de Combate.

Agora, vamos traduzir as informações dadas em termos de regiões do diagrama de Venn:

1. "Quem levou livro de Primeiros Socorros não levou livro de Materiais Inflamáveis."
   Isso significa que os conjuntos $P$ e $M$ são disjuntos, ou seja, a interseção entre eles é vazia: $P \cap M = \emptyset$. Consequentemente, a interseção dos três conjuntos também é vazia: $P \cap M \cap T = \emptyset$.

2. "Quem levou livro de Técnicas e Regras de Combate também levou livro de alguma das outras duas disciplinas."
   Isso implica que não há oficiais que levaram apenas livro de Técnicas e Regras de Combate. Ou seja, a região $T$ "pura" é vazia. Todo oficial que levou $T$ também levou $P$ ou $M$.

Com essas duas informações cruciais, o diagrama de Venn se simplifica bastante. As únicas regiões não vazias possíveis são:

• $P_s$: Oficiais que levaram apenas livro de Primeiros Socorros.
• $M_s$: Oficiais que levaram apenas livro de Materiais Inflamáveis.
• $P_T$: Oficiais que levaram livros de Primeiros Socorros E Técnicas e Regras de Combate (mas não de Materiais Inflamáveis, pois $P \cap M = \emptyset$).
• $M_T$: Oficiais que levaram livros de Materiais Inflamáveis E Técnicas e Regras de Combate (mas não de Primeiros Socorros, pois $P \cap M = \emptyset$).

Vamos usar as outras informações para encontrar os valores de cada região:

• "Foram 26 oficiais que levaram um único livro"
  $\Rightarrow P_s + M_s = 26$ (já que não há oficiais que levaram apenas $T$).

• "e, entre eles, 7 levaram de Primeiros Socorros."
  $\Rightarrow P_s = 7$.

  Substituindo $P_s$ na primeira equação: $7 + M_s = 26 \Rightarrow M_s = 19$.

• "Foram 50 oficiais que levaram livro de Técnicas e Regras de Combate."
  Como não há oficiais que levaram apenas $T$, e $P \cap M = \emptyset$, o total de oficiais que levaram $T$ é a soma dos que levaram $P$ e $T$, e os que levaram $M$ e $T$.
  $\Rightarrow P_T + M_T = 50$.

• "O número de funcionários que levou livro de Primeiros Socorros excede em 22 o número de oficiais que levou livro de Materiais Inflamáveis."
  O número total de oficiais que levaram $P$ é $|P| = P_s + P_T$.
  O número total de oficiais que levaram $M$ é $|M| = M_s + M_T$.
  $\Rightarrow |P| = |M| + 22$
  $\Rightarrow (P_s + P_T) = (M_s + M_T) + 22$
  Substituindo os valores conhecidos de $P_s$ e $M_s$:
  $(7 + P_T) = (19 + M_T) + 22$
  $7 + P_T = 41 + M_T$
  $P_T - M_T = 34$.

Agora temos um sistema de duas equações com $P_T$ e $M_T$:

1. P_T + M_T = 50\
2. $P_T - M_T = 34$

Somando as duas equações:
$(P_T + M_T) + (P_T - M_T) = 50 + 34$
$2P_T = 84$
$P_T = 42$.

Substituindo $P_T = 42$ na primeira equação:
$42 + M_T = 50$
$M_T = 8$.

Finalmente, o total de oficiais combatentes da turma Águia Azul é a soma de todas as regiões não vazias:
Total = $P_s + M_s + P_T + M_T$
Total = $7 + 19 + 42 + 8 Total = \26 + 50 Total = \76$.

(A) Incorreta: Chegaria a este valor se houvesse algum erro de cálculo ou se alguma das condições fosse mal interpretada, como por exemplo, se o total de quem levou apenas um livro fosse 26, mas o total de quem levou T fosse 50, e o restante fosse 19, e 7, e 42, e 8. Se, por exemplo, o cálculo de $M_s$ ou $P_T$ estivesse errado.
(B) Incorreta: Valor resultante de erros de cálculo, como somar incorretamente as parcelas ou interpretar mal a relação "excede em 22". Por exemplo, se $P_T - M_T = 34$ fosse $P_T + M_T = 34$, ou se houvesse um erro na soma final.
(C) Incorreta: Valor resultante de erros de cálculo nas etapas intermediárias ou na soma final.
(D) Incorreta: Valor resultante de erros de cálculo nas etapas intermediárias ou na soma final.
(E) Correta: O cálculo detalhado das regiões do diagrama de Venn, seguindo as condições dadas, resulta em 76 oficiais. As condições "Quem levou livro de Primeiros Socorros não levou livro de Materiais Inflamáveis" ($P \cap M = \emptyset$) e "Quem levou livro de Técnicas e Regras de Combate também levou livro de alguma das outras duas disciplinas" (não há oficiais que levaram apenas $T$) são fundamentais para simplificar o problema e chegar a este resultado.