Questão de Raciocínio Lógico e Matemática · FCC PM-AP 2025 (nº 16)

O conceito-chave aqui é o Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio da Gaveta de Dirichlet). Ele diz que, se você tem mais "itens" do que "recipientes", pelo menos um recipiente deve conter mais de um item. De forma mais geral, se você distribui $N$ itens em $K$ recipientes, pelo menos um recipiente terá no mínimo $\lceil N/K \rceil$ itens (onde $\lceil \cdot \rceil$ significa arredondar para cima).

No problema:

• Temos 3 grupos, inicialmente com 45 oficiais cada, totalizando 135 oficiais.
• Restam 15 oficiais a serem alocados.
• Esses 15 oficiais (itens) serão distribuídos entre os 3 grupos (recipientes).

Vamos analisar as alternativas:

• (A) Incorreta: Se os 15 oficiais escolherem ir para um único grupo, as equipes ficariam com 45+15=60, 45 e 45 pessoas. Duas equipes teriam 45 pessoas, o que não é "mais de 47".
• (B) Incorreta: (Armadilha da banca!) A frase "pelo menos uma equipe ficará com 50 pessoas" pode ser interpretada de duas formas:
  1. "Pelo menos uma equipe terá exatamente 50 pessoas." Se for essa a interpretação, a alternativa é falsa. Por exemplo, se os 15 oficiais forem para um só grupo, as equipes ficariam com 60, 45 e 45 pessoas. Nenhuma delas tem exatamente 50 pessoas.
  2. "Pelo menos uma equipe terá 50 ou mais pessoas." Se for essa a interpretação, a alternativa seria verdadeira, pois pelo Princípio da Casa dos Pombos, distribuindo 15 oficiais em 3 grupos, pelo menos um grupo receberá $\lceil 15/3 \rceil = 5$ oficiais. Assim, esse grupo teria 45+5=50 oficiais. No entanto, para que a alternativa D seja a única correta, a banca provavelmente usou a interpretação mais restrita (exatamente 50), tornando B um distrator.
• (C) Incorreta: Se os 15 oficiais forem distribuídos igualmente (5 para cada grupo), as equipes ficariam com 45+5=50, 45+5=50 e 45+5=50 pessoas. A maior equipe teria 50 pessoas, o que não é "mais de 50".
• (D) Correta: Para verificar se "alguma equipe terá mais de 48 pessoas" (ou seja, pelo menos 49 pessoas) é necessariamente verdadeiro, vamos supor o contrário: que nenhuma equipe terá mais de 48 pessoas. Isso significa que todas as equipes teriam, no máximo, 48 pessoas.
  • Se cada equipe tem no máximo 48 pessoas, e inicialmente tinha 45, isso significa que cada equipe recebeu no máximo $48 - 45 = 3$ oficiais adicionais.
  • Se cada um dos 3 grupos recebeu no máximo 3 oficiais, o total de oficiais adicionados seria no máximo $3 + 3 + 3 = 9$.
  • No entanto, sabemos que 15 oficiais foram adicionados no total.
  • Como $15 \not\le 9$, nossa suposição de que nenhuma equipe teria mais de 48 pessoas está errada.
  • Portanto, é necessariamente verdadeiro que alguma equipe terá mais de 48 pessoas.
• (E) Incorreta: Se os 15 oficiais escolherem ir para um único grupo, as equipes ficariam com 60, 45 e 45 pessoas. Duas equipes teriam 45 pessoas, o que é "menos de 46".