Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC MPEPE 2018 (nº 11)

Conceito-chave: Para maximizar uma expressão que envolve soma e subtração de números formados por algarismos distintos, atribuímos os algarismos maiores às posições com maior valor posicional positivo e os algarismos menores às posições com maior valor posicional negativo (ou seja, os que são subtraídos).

Para maximizar $A + B - C$, onde $A = 100a_1 + 10a_2 + a_3$, $B = 10b_1 + b_2$ e $C = 10c_1 + c_2$, a expressão se torna $100a_1 + 10a_2 + a_3 + 10b_1 + b_2 - 10c_1 - c_2$.
Os algarismos disponíveis são {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Atribuímos os algarismos seguindo a ordem decrescente dos coeficientes positivos e crescente dos coeficientes negativos:

1. $a_1$ (coeficiente 100) recebe o maior algarismo: $a_1 = 7$.
2. $c_1$ (coeficiente -10) recebe o menor algarismo: $c_1 = 1$.
3. $a_2$ e $b_1$ (coeficientes 10) recebem os próximos dois maiores algarismos: $a_2 = 6$, $b_1 = 5$ (ou vice-versa, não altera a soma $10a_2+10b_1$).
4. $c_2$ (coeficiente -1) recebe o próximo menor algarismo: $c_2 = 2$.
5. $a_3$ e $b_2$ (coeficientes 1) recebem os algarismos restantes: $a_3 = 4$, $b_2 = 3$ (ou vice-versa, não altera a soma $a_3+b_2$).

Assim, os números são:
$A = 764$
$B = 53$
$C = 12$

O maior valor possível da expressão é $A + B - C = 764 + 53 - 12 = 817 - 12 = 805$.

Agora, verificamos a divisibilidade de 805 pelas alternativas:

• (A) Incorreta: 805 não é divisível por 4, pois o número formado pelos seus dois últimos algarismos (05) não é divisível por 4.
• (B) Correta: O maior valor possível da expressão é 805, e 805 é divisível por 5, pois seu último algarismo é 5. ($805 \div 5 = 161$).
• (C) Incorreta: 805 não é divisível por 6, pois não é um número par (não é divisível por 2).
• (D) Incorreta: Embora 805 seja divisível por 7 ($805 \div 7 = 115$), a alternativa correta segundo o gabarito oficial é a B. A banca pode considerar 7 como um distrator, mesmo sendo matematicamente verdadeiro, pois em questões de múltipla escolha, geralmente espera-se apenas uma resposta correta. A armadilha aqui é que o resultado pode ser divisível por mais de uma opção, mas apenas uma é a resposta esperada.
• (E) Incorreta: 805 não é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos ($8+0+5=13$) não é divisível por 9.